Autodescription de sous-chaînes
Pour interpréter le dernier entier de la
séquence A046043 (soit
le nombre 6210001000), il faut dessiner un tableau :
Sous-chaîne | 0 |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Occurrences | 6 | 2 | 1
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
On comprend mieux : le nombre
6210001000 autodécrit
le nombre de « 0 » qu’il comporte (il y en a 6), le nombre de « 1 » (il y en a
2), le nombre de
« 2 » (il y en a 1),
le nombre de « 3 » (il y en a zéro), etc.
Les autres entiers de la séquence se
lisent de la même façon :
Sous-chaîne | 0 | 1 | 2 | 3 |
Occurrences
| 1 | 2 | 1 | 0 | --> 1210
Sous-chaîne | 0 | 1 | 2 | 3 |
Occurrences | 2 | 0 | 2 | 0 | --> 2020
Sous-chaîne | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
Occurrences | 2 | 1 | 2 | 0 | 0 | --> 21200
Sous-chaîne | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Occurrences | 3 | 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | --> 3211000
Sous-chaîne | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
Occurrences | 4 | 2 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | --> 42101000
Sous-chaîne | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
Occurrences | 5 | 2 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | --> 521001000
Pour rappel, le dernier nombre de la
séquence A046043 :
Sous-chaîne | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Occurrences
| 6 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | --> 6210001000
Peut-on aller plus loin ? Oui, il
suffit d’ajouter 10 à la première ligne du tableau et de demander au nombre
hypothétique de la deuxième ligne d’autodécrire la
quantité de sous-chaînes « 10 » qu’il comporte. Voici deux
solutions :
Sous-chaîne | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |10
|
Occurrences
| 5 | 3 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | --> 53110100002
Sous-chaîne | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |10
|
Occurrences
| 6 | 2 | 2 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | --> 62200010001
Y en a-t-il d’autres
pour une ligne supérieure allant de « 0 » à « 10 » ?
Pour une ligne
allant au delà de « 10 », nous avons ceci :
Sous-chaîne | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |10
|11 |
Occurrences
| 5 | 4 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 1 | --> 541011000021
Sous-chaîne | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |10
|11 |12 |
Occurrences
| 6 | 4 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 3 | 1 | 0 | --> 6401101000310
Sous-chaîne | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |10
|11 |12 |13 |
Occurrences
| 7 | 4 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 3 | 1 | 0 | 0 | --> 74011001003100
Sous-chaîne | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |10
|11 |12 |13 |14 |
Occurrences
| 8 | 4 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 3 | 1 | 0 | 0 | 0 | -->
840110001031000
Sous-chaîne | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |10
|11 |12 |13 |14 |15 |
Occurrences
| 9 | 3 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | --> 9321000001201000
Des
oublis ? Des choses intéressantes plus loin encore ?
Oui ! Jacques Alardet a trouvé à la mi-août
2008 un nombre décrivant toutes ses sous-chaînes, de 0 à 16 :
Sous-chaîne | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |10
|11 |12 |13 |14 |15 |16 |
Occurrences | 9 | 4 | 2 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | --> 94201000012110000
Bravo et merci, Jacques !
La séquence A046043 pourrait donc être étendue ainsi :
1210, 2020, 21200, 3211000, 42101000,
521001000, 6210001000, 53110100002, 62200010001, 541011000021, 6401101000310,
74011001003100, 840110001031000, 9321000001201000, 94201000012110000, ...
Cette suite est cependant composée de
nombres (et non de tableaux) et se condamne de ce fait à la finitude : comment représenter en
effet un nombre qui comporte dix « 0 » ou plus ? Voici un
exemple montrant la confusion qui en résulte :
Sous-chaîne | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
7 | 8 | 9 |10 |11 |12 |13 |14 |15 |16 |17 |
Occurrences
|11 | 6 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 4 | 1 | 0 | 0
| 0 | 0 | 1 | 0 | --> N
Ce
tableau dit la vérité : il y a bien 11 zéros dans le nombre N, six 1, aucun 2, aucun
3, un 4, etc.
Mais
comment le savoir en lisant le nombre N ? Car N vaut 1160010100041000010 — or la convention de
lecture adoptée plus haut veut qu’on interprète le premier chiffre de N comme
la quantité de zéros que N contient et cela ne marche plus : il n’y a pas
« 1 » zéro dans N mais bien « 11 ». Le lecteur est dans
l’incapacité de savoir s’il faut lier ou non les deux premiers « 1 »
de N pour avoir la quantité exacte de zéros contenue par N...
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La même idée avec des lettres.
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Une bonne bière pour la route.