Suites de nombres et autoréférence
On trouve dans
l’« Encyclopédie en ligne des suites de nombres
entiers » de Neil Sloane (riche de
plus de 100 000
entrées, ici) plusieurs
suites qui entretiennent un rapport avec l’autoréférence.
En voici trois :
– la suite de Golomb :
1 2 2 3 3 4 4 4
5 5 5 6
6 6 6
7 7 7 7
8 8 8 8
9 9 9 9
9 10 10 10
10 10 11 11 11 11
11 12 12 12 12 12
12 13 13 13 13 13
13 14 14 14 14 14
14 15 15 15 15 15
15 16 16 16 16 16
16 16 17 17 17 17
17 17 17
18 18 18 18 18 18
18 19... (Sloane A001462)
Elle se lit
ainsi :
« Dans la
suite infinie suivante il y a 1
nombre 1, 2 nombres 2, 2 nombres 3, 3 nombres 4, 3
nombres 5, 4 nombres 6, 4 nombres 7, 4 nombres 8, 5
nombres 9, 5 nombres 10,
5 nombres 11, 6 nombres 12,... » —
ce que l’on vérifiera aisément.
– la suite dite
du « Problème A-6 » [American Mathematical Monthly n°101
(1994), pp.727-728] :
2 3 3 2 3 3 3
2 3
3 3 2 3 3
2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3
3 2 3 3 2 3 3 3 2 3 3
3 2 3 3 3
2 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3
2 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3
2 3 3 3 2 3 3 2 3 3 3
2 3 3 3 2 3 3 3 2 3... (Sloane
A007538)
À
interpréter ainsi :
« Dans
la suite infinie suivante il a 2
chiffres 3 entre 2 successifs, 3
chiffres 3 entre 2 successifs, 3
chiffres 3 entre 2 successifs, 2
chiffres 3 entre 2 successifs, 3
chiffres 3 entre 2 successifs, 3
chiffres 3 entre 2 successifs, 3
chiffres 3 entre 2 successifs, 2
chiffres 3 entre 2 successifs, 3
chiffres 3 entre 2 successifs,... »
– la suite dite
« Look and say » (originale – il y en a d’autres) :
1 11 21
1211 111221
312211 13112221 1113213211 31131211131221 13211311123113112211
11131221133112132113212221 3113112221232112111312211312113211... (Sloane A005150)
Cette
suite se lit :
« Je
vois 1 « 1 » ; je vois 2 « 1 » ;
je vois 1 « 2 » et 1 « 1 » ;
je vois 1 « 1 », 1 « 2 » et 2
« 1 »...
Stimulé par
ces grands classiques, l’auteur voulut, lui aussi, et sans crainte du
ridicule, s’essayer au genre. Naquirent ainsi, après moult sangs,
sueurs et larmes (partagés avec Alexandre
Wajnberg heureusement !), les concepts de réécriture
auto- et antiréférente.
C’est un poil ampoulé, certes, mais ça fait passer le
temps.
__________
Principes d’une
réécriture autoréférente
des suites de nombres entiers :
- choisir une suite
connue L ;
- la
réécrire (elle devient S) en réarrangeant les termes de L
de manière à ce que le motif de L reste inchangé
(le motif d’une suite, ou son squelette, est
constitué de la succession des chiffres qui la composent). Lors de la
réécriture de L en S, choisir toujours le plus petit nombre
disponible dans L. Un nombre de L ne peut pas représenter le même
nombre dans S. Un nombre pris dans L ne sert qu’une seule fois.
Exemples :
–
réécriture de la suite des nombres
naturels par eux-mêmes :
S = 12 3
4 5 6 7 8 9 10 1 112 13 14 15 16 17 18 19 20 2 122 23 24 25 26 27 28 29 30 31
32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57
58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83
84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107
108 109 110 11 1112 113 114 ... (Sloane A098067)
Explication :
La suite L est ici la
suite des nombres naturels :
L = 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20...
Le motif de L
en est la succession des chiffres :
Motif(L) = 1 2 3 4 5
6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4
1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0...
La suite S commence
donc ainsi :
S = 12 3 4 5 6 7 8 9 10 1 112 13 ...
En effet, pour
commencer à réécrire « 1 2 3 4 ... »
on ne peut pas utiliser « 1 » – car ce
« 1 » pris dans L représenterait alors le 1
de S, ce qui est interdit.
Peut-on commencer S
par « 123 » ? Non, car « 12 »
est plus petit que « 123 » et toujours disponible dans L.
Pourquoi
écrire « 112 » après
« 1 » et pas « 11 » ? Parce
que ce « 11 » serait le 11e terme de la suite
d’origine et le 11e terme de la suite réécrite
- ce qui est interdit.
Pourquoi
écrire « 20 » après « 19 »
alors que « 2 » semble plus petit et disponible ?
Parce qu’aucun nombre de S ne peut commencer par zéro - et
c’est ce qui se produirait si l’on écrivait
« 2 » après « 19 » : le
terme suivant devrait commencer par « 02 » pour respecter
la contrainte.
Pourquoi faire
suivre, dans S, « 20 » par
« 2 » et pas par « 21 » ?
Parce que « 2 » est le plus petit nombre toujours
disponible dans L qui fasse avancer S sans enfreindre les règles.
–
réécriture de la suite des nombres
pairs par eux-mêmes :
S = 24 6 8 10 12 14
16 18 20 2 224 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66
68 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110 112 114
116 118 120 122 124 126 128 130 132 134 ... (Sloane
A097481)
–
réécriture de la suite des nombres
impairs par eux-mêmes :
S = 13 5 7 9 1 113 15 17 19 21 23 25 27 29 3 133
35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85
87 89 91 93 95 97 99 101 103 105 107 109 11 1113 115 117 119 121 123 125 127
129 131 133 135 ... (Sloane A097484)
–
réécriture de la suite des multiples
de 3 par eux-mêmes :
36
9 12 15 18 21 24 27 30 3 336 39 42 45 48 51 54 57 60 6 36 669 72 75 79 81 84 87
90 93 96 99 102 105 108 111 114 117 120 123 126 129 132 135 138 141 144 147 150
153 156 159 162 165 ... (Sloane A097488)
–
réécriture de la suite des nombres
premiers par eux-mêmes :
Hum... Au
début, ça marche :
23 571 11
3 171923 2
... ces termes sont tous premiers et commencent bien
à réécrire :
2 3 5 7 11
13 17 19 23 2(9)
Il faut en
revanche s’accrocher pour le terme suivant, c’est :
93137414347535961677173798389971011031071091131
... nombre à 47 chiffres dont l’applet
qu’on trouve ici
nous suggère qu’il est « probably
Prime » ! Ce monstre regroupe vingt nombres premiers qui vont
de 31 à 113 ! Admettons qu’il soit premier – la suite
continuerait alors comme ceci :
271 31 13
7 139149151157 1631671731791 811 911 9319 71
9921122322722923323924125125726326927127728128329330731131331733133734734935
3359 367373379 3833 89
3974014094194214314334394434494574614634674794874914995035095215235415475575635695715775875935996016076136176196316416436476536596616736776836917017097197277337397437517577617697737877978098118218238278298398538578598638778818838879079119199299379419479539679719779839919971009101310191021103110331039104910511061106310691087109110931097110311091117112311291151115311631171118111871193120112131217122312291231123712491259127712791283128912911297130113031307131913211327136113671373138113991409142314271429143314391
...
... et là, évidemment, c’est le coup
de massue : ce dernier nombre fait 514 chiffres ! « Probably Prime », toujours ! Le
découragement guette. D’autant que la suite ne s’annonce pas
triste :
4471451145314591 47
11481148314871489 149
3149915111523153115431549155315591567157115791583159716011607160916131619162
1162 71637165716631667 16691 693169 ...
... où l’on trouve encore un
« grand nombre » (à seulement 76 chiffres !)
Nous arrêtâmes là notre recherche, car trop de doutes
l’entachaient. Un jour saurons-nous, peut-être, si une
réécriture de la suite des nombres premiers par elle-même
est possible... (Sloane A098103)
Cet échec
– et le désir concomitant de tourner la difficulté –
nous conduisit à l’idée des anti-suites...
__________
Principes de réécriture
« antiréférente »
des suites de nombres entiers :
- choisir
une suite connue L ;
- en
construire l’anti-suite A en rangeant par ordre croissant
tous les nombres entiers qui ne figurent pas dans L.
-
réécrire la suite L à l’aide de nombres pris
uniquement dans A de manière à ce que le motif de L reste
inchangé. Lors de la réécriture de L en S, choisir
toujours le plus petit nombre disponible dans A. Les nombres pris dans A ne
servent qu’une fois.
Exemples :
– réécriture de la suite des nombres premiers par des non-premiers :
235 711 1 3171 9 232
93 1374 14 34 75 35 96 16 77 1737 98 38 99 710 110 310 71091 1312 713 1137 1391
4 91 51 15 716 316 717 3179 18 119 11931 97199 21 12 2322 72 292 33 2392 412
512 57 26 32 69 27... (Sloane A097487)
–
réécriture de la suite des nombres multiples
de 3 par des non-multiples de 3 :
3691 2 1 5 182 124
27303336394 245 4 8 515 457 606366697 275 7 88 184 879093969910 2105 10 811 11
14 1171 20 1231 26 1291 32 13 5138 1411 44 1471 50 1531 56 1591 62... (Sloane A097500)
–
réécriture de la suite des nombres pairs
par des nombres impairs :
2468101 21 41 61
82022242628303 23 43 63 84042444648505 25 45 65 86062646668707 27 47 67
88082848688909 29 49 69 81001021041061081 101 1 211 411 611 81 201 221 241 261
281 301 3 213 413 613 81401 421 441 461 481 501 5 215... (Sloane
A097968)
–
réécriture de la suite des nombres impairs
par des nombres pairs :
1357911131517192 12
32 52 72 931333537394 14 34 54 74 951535557596 16 36 56 76 971737577798 18 38
58 78 9919395979910 110 310 510 710 911111311511711912 112 312 512 712
913113313513713914 114 314 514 714 915115315515715916 116... (Sloane A098099)
–
réécriture de la suite de Fibonacci
par des non-Fibonacci :
11 23 58 132 134 558
9 14 4 2333 7 76 10 98 71 59 72 584 41 81 6 765 109 46 17 711 28 65 74 63 68
750 25 12 139 31 96 418 317 811 51 42 29 83 20 40 1346 26 92 178 30 93 52 45 78
570 288 79 22 746 514 930 35 224 15 781 73 90 88 16 963 24 598 6102 33 415... (Sloane A098100)
...
D’autres
réécritures sont possibles, bien sûr (ni auto-, ni antiréférentes), comme la
réécriture de la suite de Fibonacci par
des entiers naturels :
11 23 58 1 3 2 13 4 5
589 14 42 33 37 7 6 10 9 8 71 59 72 584 41 81 67 65 109 46 17 71 12 86 57 463
68 750 25 121 39 31 96 418 317 81 151 422 98 320... (Sloane
A097485)
L’appellera-t-on
« suite de Fibonaturcci » ?
__________
Voilà, il
reste à réécrire plein de choses encore, comme la suite
des nombres triangulaires ou carrés – mais aussi
à répondre à quelques questions :
– si l’on
fusionne la suite des nombres premiers, par exemple, avec celle des
non-premiers qui la réécrivent, retrouvera-t-on l’ensemble
des naturels ? De même pour les pairs et les impairs, les multiples
de 3 et les non-multiples de 3, les Fibonacci et les
non-Fibonacci...
– de même
si l’on compare la suite des nombres naturels à sa
réécriture, est-on inévitablement amené à se
demander si elles sont anagrammes l’une de l’autre.
L’intuition dit
oui, mais l’intuition, de nos jours...
__________
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Merci à Jacques Tramu
pour m’avoir signalé une erreur dans la réécriture
des nombres premiers et pour m’avoir fourni les
« monstres » à 47 chiffres et plus ! Merci
aussi à Frédéric Schmitter pour
avoir relevé une autre erreur dans la série des nombres non-premiers. Merci à Jacques Alardet pour sa
réécriture de ma réécriture des Naturels par
eux-mêmes — ce qui m’a permis de corriger dans la
foulée trois autres suites de cette page et de l’OEIS (ce
que c’est que de travailler à la main et à pas
d’heure !-)