Suites et nombres de Schmitter

 

Une suite de Schmitter est une suite de nombres entiers tous différents, construite sur un nom propre, un nom commun, un bout de phrase – ou tout autre énoncé jugé digne d’intérêt.

 

Montrons comment se construit une suite de Schmitter sur le nom (pris au hasard) de « Frédéric Schmitter ». Deux instructions suffisent :

 

1) reproduire le bloc FREDERICSCHMITTER à l’infini ;

2) remplacer une à une chaque lettre par le plus petit entier non encore présent dans la suite qui contient ladite lettre (dans son écriture en français).

 

On aura ainsi pour le premier bloc FREDERICSCHMITTER :

 

           neuF           9

            zéRo          0

             dEux         2

              Dix        10

         quatrE           4

             tRois        3

             cInq         5

        vingt-Cinq       25

              Six         6

       trente-Cinq       35

              Huit        8

              Mille    1000

           treIze        13

           sepT           7

           quaTorze      14

           onzE          11

       vingt-tRois       23

 

Ce 1er bloc FREDERICSCHMITTER produit donc S(1) = 9, 0, 2, 10, 4, 3, 5, 25, 6, 35, 8, 1000, 13, 7, 14, 11, 23.

 

Voyons le 2e bloc :

 

       dix-neuF           19

    vingt-quatRe          24

          douzE           12

              Dix-sept    17

         quinzE           15

             tRente       30

            seIze         16

     quarante-Cinq        45

        vingt-Six         26

              Cinquante   50

          dix-Huit        18

              Mille un  1001

             vIngt        20

          vingT et un     21

          vingT-deux      22

       vingt-sEpt         27

             tRente et un 31

 

Le 2e bloc FREDERICSCHMITTER donne S(2) = 19, 24, 12, 17, 15, 30, 16, 45, 26, 50, 18, 1001, 20, 21, 22, 27, 31.

 

Le 3e bloc FREDERICSCHMITTER produira S(3) = 29, 32, 33, 42, 34, 36, 28, 51, 37, 52, 38, 1002, 43, 39, 40, 41, 44.

Etc.

 

Voici, après concaténation de tous les blocs, les 200 premiers termes de la suite (calculés par Nicolas Graner) :

 

S = 9, 0, 2, 10, 4, 3, 5, 25, 6, 35, 8, 1000, 13, 7, 14, 11, 23, 19, 24, 12, 17, 15, 30, 16, 45, 26, 50, 18, 1001, 20, 21, 22, 27, 31, 29, 32, 33, 42, 34, 36, 28, 51, 37, 52, 38, 1002, 43, 39, 40, 41, 44, 49, 46, 47, 62, 48, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 1003, 59, 60, 61, 63, 64, 69, 73, 65, 70, 66, 74, 67, 85, 68, 100, 78, 1004, 71, 72, 75, 76, 80, 79, 81, 77, 82, 83, 84, 86, 101, 87, 102, 88, 1005, 89, 90, 91, 92, 93, 99, 94, 95, 97, 96, 98, 103, 104, 106, 105, 108, 1006, 110, 107, 109, 111, 113, 119, 114, 112, 117, 115, 123, 116, 118, 126, 120, 128, 1007, 121, 122, 124, 125, 130, 129, 131, 127, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 148, 1008, 143, 139, 140, 141, 142, 149, 144, 145, 152, 146, 147, 150, 151, 153, 154, 158, 1009, 155, 156, 157, 159, 163, 169, 164, 160, 162, 161, 173, 165, 166, 167, 168, 178, 1010, 170, 171, 172, 174, 180, 179, 181, 175, 177, 176, 182, 183, 184, 186, 185, 188, 1011, 187, ...

 

Plusieurs questions se posent :

 

—> toute suite de Schmitter est-elle un réarrangement des entiers ?

 

Non – la suite ci-dessus, par exemple, ne contiendra jamais le nombre 1 (UN), mais tous les autres entiers oui. [Une suite produisant tous les entiers est dite complète – celle-ci est donc incomplète (de peu...)].

 

—> tout énoncé est-il susceptible de produire une suite de Schmitter infinie ?

 

Non – les lettres J, K, W et Y ne figurant dans l’écriture d’aucun nombre français, tout énoncé qui en contiendrait une (ou plusieurs) verrait sa suite se bloquer rapidement ; les mathématiciens André Weil et Jean-Christophe Yoccoz n’iront donc pas loin – ni Bourbaki...

 

—> quel serait le premier mot français produisant une suite de Schmitter complète ?

 

Nicolas m’écrit que c’est « aalénien », trouvé dans l’ODS5 ou « abaissante », selon le Grand Robert 1994 [Wikipedia indique depuis le 1er avril 2009 que « L’Aalénien est le premier étage stratigraphique du Jurassique moyen ou Dogger dans l’ère Mésozoïque. Il se situe entre les étages Toarcien (Jurassique inférieur ou Lias) et Bajocien »].

 

Les « mots de Schmitter » sont donc des mots générant des suites de Schmitter complètes. Un critère suffisant pour trouver de tels mots est (je cite Nicolas) :

« Contenir [un E, un I et (un U ou un N)]. Le plus court est NIE. Mais il y a également tous les mots sans I contenant au moins une lettre de tous les nombres sans E ; les plus courts sont AXENT/TEXAN, DENTS/TENDS et DUNES ».

 

—> quel serait le plus petit nombre (écrit en toutes lettres) produisant une suite de Schmitter complète ? Nicolas me confirme que c’est 15 (QUINZE) ; 15 est donc le premier des « nombres de Schmitter ». Voici les autres, calculés par Nicolas toujours, jusqu’à 110 ;

 

Nombres de Schmitter : 15, 19, 21, 22, 24, 27, 29, 33, 35, 36, 38, 43, 45, 46, 48, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 103, 105, 106, 108, 110, ...

 

[Nicolas : « Il y en a 860 entre UN et MILLE, 99796 entre UN et CENT MILLE, quasiment tous à partir d’UN MILLION (sauf les rares liponombres en E) »]

 

 

Que ta vie soit belle et variée, Frédéric, comme les mots, nombres et suites qui portent désormais ton nom !