Envoyé à la liste Oulipo vers midi, le mardi 29 novembre 2005 :

Un cryptarithme record ?

[Message envoyé à la liste Oulipo vers midi, le mardi 29 novembre 2005]

« Bonjour à tous,

Le plus grand cryptarithme français doublement vrai à ce jour (et à solution unique) a été découvert par Don Reble et votre serviteur le mardi 29 novembre 2005 à 11:00, heure de Paris.

Il comporte 9052154594080843506502230384781217386235171 termes avant le signe « = », lesquels doivent être additionnés pour obtenir le nombre 33033033 écrit en toutes lettres.

Voici l’équation (à 11 inconnues !) résolue par Don Reble ce matin :

11011011*TROIS + k*ZERO = TRENTETROISMILLIONSTRENTETROISMILLETRENTETROIS

k = 9052154594080843506502230384781217375224160

E I L M N O R S T Z

0 4 6 5 3 2 7 8 9 1

J’ose à peine commencer à présenter ce record de manière traditionnelle :

TROIS + TROIS + TROIS + TROIS + TROIS + ... + TROIS + ZERO + ZERO + ZERO + ZERO + ... + ZERO = TRENTETROISMILLIONSTRENTETROISMILLETRENTETROIS

Le cryptarithme ci-dessus comporte onze millions onze mille onze TROIS et neuf septillions cinquante-deux mille cent cinquante-quatre sextillions cinq cent quatre-vingt-quatorze mille quatre-vingts quintillions huit cent quarante-trois mille cinq cent six quatrillions cinq cent deux mille deux cent trente trillions trois cent quatre-vingt-quatre mille sept cent quatre-vingt-un billions deux cent dix-sept mille trois cent soixante-quinze millions deux cent vingt-quatre mille cent soixante ZERO, lesquels nombres, additionnés, font bien trente-trois millions trente-trois mille trente-trois.

C’est une première façon de voir que le compte est exact.

La seconde égalité se vérifie en remplaçant dans l’équation :

TROIS + TROIS + TROIS + TROIS + TROIS + ... + TROIS + ZERO + ZERO + ZERO + ZERO + ... + ZERO = TRENTETROISMILLIONSTRENTETROISMILLETRENTETROIS

... les lettres par les chiffres qu’elles codent : E=0, I=1, L=6, M=5, N=3, O=2, R=7, S=8, T=9, Z=1.

Il vient alors :

97248 + 97248 + 97248 + 97248 + 97248 + ... + 97248 + 1072 + 1072 + 1072 + 1072 + ... + 1072 = 9703909724854664238970390972485466097039097248

... ce que tout un chacun vérifiera facilement.

Merci à Nicolas Graner pour le programme à-donner-des-noms-aux-nombres :

http://www.graner.net/nicolas/nombres/nom.php

... merci à Don Reble pour son algorithme ultraluminique,

... et à vous tous pour avoir lu ces bêtises jusqu’ici !

à+

É. »

Don Reble, informaticien amateur de bridge (et d’effets spéciaux)

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Patrick Coilland (contacté via fr.sci.maths) me confirmera quelques instants plus tard en privé que les résultats de Don sont corrects.

Puis, creusant le sujet, Patrick remarque plusieurs choses :

1) le tirage [EILMNORSTZ] cache le mot « TRILLION » (lequel est le plus grand nombre figurant au Larousse ; il y est défini comme un million de billions)

2) ce même tirage permet l’écriture de nombres plus grands encore (NONILLION, par exemple)

La course au cryptarithme le plus grand fut donc recadrée et divisée en deux compétitions :

- le plus grand cryptarithme français à solution unique et doublement vrai dont tous les mots qui le constituent figurent dans la dernière édition du Larousse (2006, pour le coup).

- le plus grand cryptarithme français à solution unique et doublement vrai dont tous les mots sont admis par le programme de Nicolas Graner ci-dessus.

Après de multiples calculs, échanges de courriers et astuces diverses dont il a le secret, il semble que Patrick détienne aujourd’hui (7 décembre 2005) les deux records ! Le second, comme démontré brillamment ci-dessous, pouvant être aussi grand que l’on veut [Patrick a prouvé que le terme à droite du signe « = » peut être allongé à l’infini, sans la béquille graphique du ZERO (cf. le dictionnaire de John Conway adapté pour le français par Nicolas, lequel est conforme au système d’écriture qu’Olivier Miakinen décrit impeccablement ici)].

Voici le courrier de Patrick mentionnant le cryptarithme record actuel (attesté au 3/12/2005), dont tous les mots figurent au Larousse :

« Re-bonjour Eric

Je pense que le maximum possible de termes (à gauche du signe « = ») est inférieur ou égal à :

90646116696361654166275255636445127170128556622424500746681909931918924196664494134098473098290

Voici un cryptarithme qui approche ce maximum à 9028 termes près :

59*TROIS

+ 2713*ONZE

+ 1*TREIZE

+ 33033003*MILLE

+ 3*ONZETRILLIONS

+ 33*MILLETRILLIONS

+ 90646116696361654166275255636445127170128556622424500746681909931918924196664494134098440053450*ZERO

-------------------------

= TRENTETROISMILLETRENTETROISTRILLIONSTRENTETROISMILLETRENTETROISMILLIONSTRENTETROISMILLETRENTETROIS

Avec comme solution : Z=1, E=0, R=8, O=2, T=9, I=6, S=5, N=7, M=4, L=3

Soit :

59*98265

+ 2713*2710

+ 1*980610

+ 33033003*46330

+ 3*2710986336275

+ 33*46330986336275

+ 90646116696361654166275255636445127170128556622424500746681909931918924196664494134098440053450*1082

-------------------------

= 98079098265463309807909826598633627598079098265463309807909826546336275980790982654633098079098265

Soit 90646116696361654166275255636445127170128556622424500746681909931918924196664494134098473089262 termes à gauche du signe « = ».

Amicalement,

Patrick »

Il faut donc imaginer un cryptarithme constitué d’une colonne de cinquante-neuf « TROIS » qu’il faut additionner et ajouter à la colonne des deux mille sept cent treize « ONZE », puis à l’unique « TREIZE », puis à la (respectable) colonne des trente-trois millions trente-trois mille trois « MILLE », puis aux trois « ONZETRILLIONS », puis aux trente-trois « MILLETRILLIONS et enfin à la (monstrueuse) colonne des quatre-vingt-dix mille six cent quarante-six quinquadécillions cent seize mille six cent quatre-vingt-seize quattuordécillions trois cent soixante et un mille six cent cinquante-quatre tredécillions cent soixante-six mille deux cent soixante-quinze duodécillions deux cent cinquante-cinq mille six cent trente-six undécillions quatre cent quarante-cinq mille cent vingt-sept décillions cent soixante-dix mille cent vingt-huit nonillions cinq cent cinquante-six mille six cent vingt-deux octillions quatre cent vingt-quatre mille cinq cents septillions sept cent quarante-six mille six cent quatre-vingt-un sextillions neuf cent neuf mille neuf cent trente et un quintillions neuf cent dix-huit mille neuf cent vingt-quatre quatrillions cent quatre-vingt-seize mille six cent soixante-quatre trillions quatre cent quatre-vingt-quatorze mille cent trente-quatre billions quatre-vingt-dix-huit mille quatre cent quarante millions cinquante-trois mille quatre cent cinquante « ZERO » ; le total faisant (en sens arithmétique direct) 33033000000033033033033 et 98079098265463309807909826598633627598079098265463309807909826546336275980790982654633098079098265 (après la substitution Z=1, E=0, R=8, O=2, T=9, I=6, S=5, N=7, M=4, L=3). C’est du joli :

| TROIS

59 termes < ...

| TROIS

| ONZE

2713 termes < ...

| ONZE

TREIZE

| MILLE

33033003 termes < ...

| MILLE

ONZETRILLIONS

| MILLETRILLIONS

33 termes < ...

| MILLETRILLIONS

| ZERO

90646116696361654166275255636445127170128556622424500746681909931918924196664494134098440053450 termes < ...

| ZERO

+ | ZERO

---------------

= TRENTETROISMILLETRENTETROISTRILLIONSTRENTETROISMILLETRENTETROISMILLIONSTRENTETROISMILLETRENTETROIS

Ce cryptarithme comporte donc 90646116696361654166275255636445127170128556622424500746681909931918924196664494134098473089262 termes à additionner ; c’est le record actuel à battre !

Et voici, pour le second record, le courrier que Patrick envoya le 7 décembre 2005 conjointement à Nicolas Graner et à votre humble serviteur :

« Bonjour Eric et Nicolas.

Nicolas posait la question de savoir si l’on pouvait construire un cryptarithme de taille aussi grande que l’on veut sans utiliser l’astuce du ZERO.

La réponse est « oui » :

x*UN + y*SIX + SIXTRILLI [p*NILLI] MILLIONS = SIXTRILLI [p*NILLI] MILLIONS SIXTRILLI [q*NILLI] MILLIONS

avec :

x = 2188 [(q+2)*64728] 55766760 [(p-q-4)*81360] 81357813626340314600 [(q+2)* 00000]

y = 635 [(q+2)*22545] 24038873 [(p-q-4)*19773] 19773697728943280900 [(q+2)* 00000]

q entier aussi grand que l’on veut

p = 3600*1000^q - 5 - q

Ce cryptarithme comporte environ 2,8 10^(36+5p+5q) termes.

Il a une solution unique :

U N T R I L O S X M

2 5 3 6 4 7 8 1 9 0

Cela marche vraiment (j’ai refait plusieurs fois les calculs) et il y a probablement plus simple, mais pas de façon évidente.

Patrick »

Je suis proprement stupéfait, bravo Patrick !

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