Pandigital lettré

(Written pandigital)

 

 

« Trouver un énoncé pandigital (présence, une et une seule fois, des chiffres de 0 à 9), énoncé dont le résultat soit aussi le nombre de lettres qui l’écrivent en français. » (Cet énoncé ne comportant ni parenthèses, ni barres de fraction, ni exposants, ni radicaux, etc. – ni opérateurs autres que plus et moins.)

 

Voici la solution de Patrick Coilland (postée le 7 mars 2005 sur fr.rec.jeux.enigmes) :

 

   708 - 634 – 29 + 15

 

Bravo Patrick ! 60 lettres ! Il semble impossible de faire mieux1...

 

Cette solution en fournit trois autres, par simples ré-arrangements :

 

   708 - 639 - 24 + 15

   709 - 635 - 28 + 14

   709 - 638 - 25 + 14

 

...

 

Je me suis demandé (en voyant passer un message sur le sujet dans le groupe rec.puzzles) s’il y avait moyen de produire de tels énoncés pandigitaux grâce à la TNT (Typographical Number Theory) inventée par Douglas Hofstadter (cf. Gödel, Escher, Bach, chapitre VIII).

 

La réponse est oui pour autant que l’on voie l’écriture « SS0 », par exemple, comme une suite de lettres – alors que le dernier caractère est un chiffre (SS0 n’est pas le Sud-Sud-Ouest mais bien le nombre « 2 » en TNT : SS0 est en effet le Successeur du Successeur de zér0 » ; de même S0 vaut-il 1 puisque 1 est le Successeur de zér0).

 

Rappelons que les seules opérations possibles en TNT sont l’addition et la multiplication (voir ici, en anglais).

 

On remarque vite cependant que l’addition, prise comme unique opération, consomme toujours six « lettres » de plus que le résultat final : « SO plus SSO », par exemple, comporte 9 lettres alors que le total arithmétique vaut 3 (1+2).

 

Il faut donc, pour tenter de combler cet écart de six, déroger aux règles initiales et s’autoriser le signe « fois » (les parenthèses et autres attributs étant toujours interdites).

 

Voici une première salve de résultat pandigitaux français en TNT :

 

 

2 x 13 + 4567890

2 x 13 + 4567809

2 x 13 + 4567980

2 x 13 + 4567908

2 x 13 + 4567089

2 x 13 + 4567098

...

 

Tous ces énoncés sont doublement vrais, tant du point de vue arithmétique que de celui du nombre de lettres employées. Voici comment lire le premier résultat :

 

Nombres :   2   x        13         +       4567890   = 4567916

         SSO fois SSSSSSSSSSSSSO plus SSSSSS...SSSSSO

Lettres :   3 + 4  +     14       + 4  +    4567891   = 4567916.

 

Mais on trouve aussi :

 

3 x 7 + 12456890

...

...

4 x 5 + 12367890

...

...

 

... qui semble produire la chaîne de caractères la plus longue :

 

4 x 5 + 98763210 soit 98763230 lettres !

 

Avec un symbole « x » et deux « + » on a :

 

2 x 18 + 0 + 345679

2 x 18 + 0 + 345697

2 x 18 + 0 + 345769

2 x 18 + 0 + 345796

2 x 18 + 0 + 345967

2 x 18 + 0 + 345976

...

2 x 18 + 3 + 456790

...

...

2 x 18 + 4 + 356790

...

...

2 x 18 + 5 + 346790

...

...

...

2 x 18 + 30 + 45679

...

...

2 x 18 + 34 + 56790

...

...

2 x 18 + 35 + 46790

...

...

...

2 x 18 + 345 + 6790

...

 

... le lecteur a compris le principe de construction.

 

Avec un symbole « x » et trois « + » on a :

 

3 x 12 + 0 + 4 + 56789

...

...

3 x 12 + 0 + 5 + 46789

...

...

...

3 x 12 + 4 + 5 + 67890

 

etc.

 

Les deux énoncés pandigitaux français suivants sont-ils les plus compacts en TNT ?

 

0 + 2 + 3 + 4 x 15 + 6 + 7 + 8 + 9

0 + 12 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 x 8 + 9

 

... il valent 95 et s’écrivent avec 95 lettres, comme on pourra le vérifier avec l’écriture du deuxième :

 

0 plus SSSSSSSSSSSSO plus SSSO plus SSSSO plus SSSSSO plus SSSSSSO plus SSSSSSSO fois SSSSSSSSO plus SSSSSSSSSO

 

En déplaçant judicieusement le « 1 » de ce deuxième exemple, on produit toutes les autres solutions à 95 points :

 

10 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 x 8 + 9

0 + 12 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 x 8 + 9 (sol. ci-dessus, « dans l’ordre »)

0 + 2 + 13 + 4 + 5 + 6 + 7 x 8 + 9

0 + 2 + 3 + 14 + 5 + 6 + 7 x 8 + 9

0 + 2 + 3 + 4 + 15 + 6 + 7 x 8 + 9

0 + 2 + 3 + 4 + 5 + 16 + 7 x 8 + 9

0 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 x 8 + 19

 

 

Le seul moyen de s’affranchir de la langue, dans ce genre d’exercice, consiste à passer par la TNT mais sans transcrire en mots les signes « + » et « x ».

 

Les énoncés les plus compacts en TNT pure (valeur 63) sont alors :

 

10 + 2 + 3 x 6 + 4 + 5 + 7 + 8 + 9

0 + 12 + 3 x 6 + 4 + 5 + 7 + 8 + 9

0 + 2 + 3 x 6 + 14 + 5 + 7 + 8 + 9

0 + 2 + 3 x 6 + 4 + 15 + 7 + 8 + 9

0 + 2 + 3 x 6 + 4 + 5 + 17 + 8 + 9

0 + 2 + 3 x 6 + 4 + 5 + 7 + 18 + 9

0 + 2 + 3 x 6 + 4 + 5 + 7 + 8 + 19

 

... ce dernier, comme les autres, s’écrivant bien avec 63 lettres :

 

Nombres :

    0+ 2 + 3  x   6   +  4  +  5   +    7   +    8    +    19    = 63

O+SSO+SSSO.SSSSSSO+SSSSO+SSSSSO+SSSSSSSO+SSSSSSSSO+SSS...SSSO

1+ 3 + 4  +   7   +  5  +  6   +    8   +    9    +    20    = 63

Lettres

 

Quant à l’énoncé pandigital le plus lourd en TNT pure et doublement vrai, il semble que ce soit celui-ci :

 

2 x 5 + 9876431

 

Il faut neuf millions huit cent soixante-seize mille quatre cent quarante et une lettres pour l’écrire !

 

__________

 

(1) Si – en anglais : 58 lettres ! Voici les solutions trouvées par Eric Miller et Ian Bartholomew le 8 mars 2005 sur rec.puzzles :

 

10 - 36 + 49 - 52 + 87

 

ten           3

minus         5

thirty-six    9

plus          4

forty-nine    9

minus         5

fifty-two     8

plus          4

eighty-seven 11

 

L’ensemble des solutions avec permutations est donc :

 

10 - 36 + 49 - 52 + 87

10 - 36 + 47 - 52 + 89

10 - 32 + 49 - 56 + 87

10 - 32 + 47 - 56 + 89

 

----------

... Dernière minute : Je lis ceci sur rec.puzzles, signé Lejonel Norling, lequel trouve 55 lettres en suédois :

 

87 + 10 + 43 - 56 - 29

 

åttiosju    8

plus        4

tio         3

plus        4

fyrtiotre   9

minus       5

femtiosex   9

minus       5

tjugonio    8

 

L’ensemble des solutions suédoises devient :

 

87 + 10 + 43 - 56 – 29

87 + 10 + 43 - 59 – 26

83 + 10 + 47 - 59 – 26

83 + 10 + 47 - 56 - 29

 

Lejonel demande quel est le record de brièveté, toutes langues confondues – et propose le

norvégien en 50 lettres :

 

83 + 49 + 10 - 25 – 67

 

åttitre    7

plus       4

førtini    7

plus       4

ti         2

minus      5

tyvefem    7

minus      5

sekstisju  9

 

L’ensemble des solutions norvégiennes :

 

83 + 49 + 10 - 25 – 67

89 + 43 + 10 - 25 – 67

89 + 43 + 10 - 27 – 65

83 + 49 + 10 - 25 - 67

 

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