New Printer’s Errors
Début février 2009, Jean-Marc Falcoz a pris un nombre entier, a inséré entre chacun de
ses chiffres une des cinq opérations suivantes, et s’est demandé ce que cela
pouvait produire :
+ (plus)
- (moins)
* (fois)
/ (divisé par)
^ (porté à la
puissance)
Jean-Marc
a vite cherché les nombres qui soient solution d’un calcul sur leurs propres
chiffres (les chiffres devant rester dans l’ordre et le calcul être univoque
selon les règles habituelles).
736 = 7+3^6 est un bon exemple :
on effectue d’abord l’exponentiation 3^6
(laquelle vaut 3*3*3*3*3*3=729)
puis l’addition 7+729 = 736.
Le calcul d’une expression s’attaque
d’abord aux exponentiations, puis aux multiplications et divisions, enfin aux
additions et soustractions. Rappelons que k^0 vaut 1, quel que soit k (0^0,
n’étant pas défini, n’est pas utilisé). Quant aux inserts successifs de signes
^, Jean-Marc les a interdits à son
programme : les expressions comportant a^b^c
« explosent » vite, et certains auteurs les jugent ambigües (mais pas
Eric Weisstein,
voir ici).
Voici tous les nombres compris entre 0 et
10^6 que Jean-Marc a trouvés :
2592 = 2^5*9^2
11664 = 1*1*6^6/4
15617 = 1*5^6-1-7
15618
= 1*5^6+1-8
15622 = 1+5^6-2*2
15624 = 1+5^6+2-4
15632 = 1+5^6+3*2
15642 = 1+5^6+4^2
15645 = 1*5^6+4*5
15656 = 1+5*6+5^6
15662 = 1+5^6+6^2
15667 = 1*5^6+6*7
15698 = 1+5^6+9*8
17536 = 1*7^5+3^6
27639 = 2^7*6^3-9
32785 = 3+2*7+8^5
39363 = 3^9/3*6-3
39369 = 3+9^3*6*9
45947 = 4*5+9^4*7
46633 = 4+6^6-3^3
46644 = 4+6^6-4*4
46648 = 4*6^6/4-8
46655 = 4+6*6^5-5
46660 = 4+6^6*6^0
46663 = 4+6+6^6-3
117635 = 1*1+7^6-3*5
117638 = 1*1*7^6-3-8
117639 = 1+1+7^6-3-9
117642 = 1*1+7^6-4*2
117643 = 1*1+7^6-4-3
117647 = 1*1+7^6+4-7
117650 = 1*1*7^6+5^0
117652 = 1*1*7^6+5-2
117653 = 1+1+7^6+5-3
117662 = 1*1+7^6+6*2
117695 = 1*1+7^6+9*5
156250 = 1*5^6*2*5+0
156251 = 1*5^6*2*5+1
156252 = 1*5^6*2*5+2
156253 = 1*5^6*2*5+3
156254 = 1*5^6*2*5+4
156255 = 1*5^6*2*5+5
156256 = 1*5^6*2*5+6
156257 = 1*5^6*2*5+7
156258 = 1*5^6*2*5+8
156259 = 1*5^6*2*5+9
186622 = 1*8*6^6/2-2
186624 = 1*8*6^6*2/4
262149 = 2*6/2-1+4^9
279867 = 2-7*9-8+6^7
295245 = 2*9^5*2/4*5
390658 = 3*9+0+6+5^8
437564 = 4^3+7*5^6*4
589864 = 5*8+9*8^6/4
824577 = 8+2+4^5+7^7
...
__________
Jean-Marc
ajoute dans un courrier de la fin février 2009 :
> J'ai eu une autre idée, un peu plus
générale : je rajoute une 6e opération qui est la concaténation de
deux (ou plus) chiffres. Le calcul est bien sûr beaucoup plus lent, et voici ce
que j'obtiens jusqu'à 238000 :
(Les nouveautés sont en jaune - NdÉA)
736 = 7+3^6
2502 = 2+50^2
2592 = 2^5*9^2
11664 = 1*1*6^6/4
15613
= 1+5^6-13
15617 = 1*5^6-1-7
15618 = 1*5^6+1-8
15622 = 1+5^6-2*2
15624 = 1+5^6+2-4
15632 = 1+5^6+3*2
15642 = 1+5^6+4^2
15645 = 1*5^6+4*5
15656 = 1+5*6+5^6
15662 = 1+5^6+6^2
15667 = 1*5^6+6*7
15698 = 1+5^6+9*8
16875
= 1*68+7^5
17536 = 1*7^5+3^6
19453
= 19*4^5-3
26364
= 26^3*6/4
27639 = 2^7*6^3-9
32785 = 3+2*7+8^5
34425
= 3^4*425
35721
= 3^5*7*21
39283
= 3^9*2-83
39343
= 39+34^3
39363 = 3^9/3*6-3
39369 = 3+9^3*6*9
45947 = 4*5+9^4*7
46630
= 4+6^6-30
46633 = 4+6^6-3^3
46644 = 4+6^6-4*4
46648 = 4*6^6/4-8
46655 = 4+6*6^5-5
46660 = 4+6^6*6^0
46663 = 4+6+6^6-3
117476
= 1-174+7^6
117576
= 1+1-75+7^6
117625
= 1*1+7^6-25
117630
= 11+7^6-30
117633
= 11+7^6-3^3
117635 = 1*1+7^6-3*5
117638 = 1*1*7^6-3-8
117639 = 1+1+7^6-3-9
117642 = 1*1+7^6-4*2
117643 = 1*1+7^6-4-3
117644
= 11+7^6-4*4
117647 = 1*1+7^6+4-7
117648
= 11+7^6-4-8
117650 = 1*1*7^6+5^0
117652 = 1*1*7^6+5-2
117653 = 1+1+7^6+5-3
117660
= 11+7^6*6^0
117662 = 1*1+7^6+6*2
117663
= 11+7^6+6-3
117695 = 1*1+7^6+9*5
117763
= 117+7^6-3
156250 = 1*5^6*2*5+0
156251 = 1*5^6*2*5+1
156252 = 1*5^6*2*5+2
156253 = 1*5^6*2*5+3
156254 = 1*5^6*2*5+4
156255 = 1*5^6*2*5+5
156256 = 1*5^6*2*5+6
156257 = 1*5^6*2*5+7
156258 = 1*5^6*2*5+8
156259 = 1*5^6*2*5+9
186622 = 1*8*6^6/2-2
186624 = 1*8*6^6*2/4
186641
= 18+6^6*4-1
234224
= 2-34+22^4
...
Les résultats du genre 117128 = 117-1-2*8
ont été exclus (ici tout l’exposant de 11 est comme mis entre
parenthèses) ; de même pour les solutions comportant des nombres qui
commencent par 0 (comme 59052 = 5+9^05-2)
__________
Qui trouvera un pandigital répondant à la
contrainte ? (Un pandigital est un nombre ayant
10 chiffres, lesquels sont tous différents). Ce pandigital
sera-t-il aussi pansigne
(les 6 opérations +, -, *, /, ^ et concaténation) ?
Réponse du 2 mars 2009 :
Jean-Marc
Falcoz a trouvé aujourd’hui le magnifique 3514829760 =
3^5*1482*9760 ; quelle merveille !
__________
J’ai par ailleurs posté ce message à la
liste Math-Fun le 25 février 2009 :
Hello MathFun,
736
= 7+3^6
2502
= 2+50^2
34425 = 3^4*425
39343 = 39+34^3
Are there many more integers N which give back N if
we
insert only two "operations" somewhere between
the
digits of N? The "operations" are +, -, *,
/, ^
and
the expression at the right of the equal sign
must
be unambiguous, of course.
Best,
É.
Erich
Friedman m’a répondu (voir sa page
ci-dessous) :
There are no more 5-digit solutions. The only 6-digit solutions are:
312325 = 31^2*325
344250 = 3^4*4250 (obviously infinitely many like this)
492205 = 49^2*205
Bravo et merci, Erich : il y a donc
une infinité de nombres répondant à la question !
__________
Pourquoi « New Printer’s
Errors » ? Parce qu’un concept approchant, baptisé « Printer’s
Errors » avait déjà été proposé dans le passé.
Jean-Marc
a travaillé aussi sur cette idée et l’a généralisée d’élégante façon ici
!
Bravo – et longue vie aux vieilles
imprimantes !
__________
P.-S.
Cette page d’Erich Friedman évoque tous
ces sujets (le pandigital n’y est pas défini de la
même façon) :
http://www2.stetson.edu/~efriedma/mathmagic/0800.html
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