Chaînes de chiffres à leur place dans Pi
Je suis tombé, via le
site de l’inverseur de Simon
Plouffe, sur cette page-ci.
Stupeur et tremblements ! J’ai aussitôt compris tout le parti autoréférent que l’on pouvait tirer de ce genre de moteur.
Après m’être amusé un
peu (entrée de mon numéro de
téléphone, de ma date de naissance, du tour de poitrine d’un ami de ma femme,
etc.) j’ai essayé de construire des suites susceptibles d’intéresser Neil J. A. Sloane et son
« On-line Encyclopedia
of Integer Sequences »
[cette suite-ci
fut finalement acceptée; elle fait penser à celle-là, plus
ancienne].
La
question qui se pose immédiatement, en jouant avec ledit moteur, c’est de
trouver des chaînes de chiffres « auto-rangées », c’est-à-dire qui
soient à leur place dans les décimales de Pi. J’ai mis un peu de temps à
réaliser que cette recherche avait déjà était faite – et que la solution se
trouvait plus bas dans la page du Pi-Searcher...
Pour les simples d’esprits, comme moi, ou pour les distraits, revoici la
solution : 1, 16470, 44899 et 79873884 sont les premières chaînes de
chiffres à leur place dans Pi (c’est la suite A057680 de
l’OEIS) :
-
la chaîne « 1 » est au rang n°1 des décimales de Pi (3,14159...)
- la chaîne 16470 est au rang
n°16470 (elle est aussi au
rang 1602, ce qui m’a bloqué longtemps – heureusement que Nicolas Graner
est venu me poser des lunettes !)
- la chaîne 44899 est au rang
n°44899 (là aussi il faut
titiller la commande Find Next placée à côté du cartouche de recherche dans la
page des résultats...)
- la chaîne 79873884 est au rang n°79873884 (mais ce résultat est hors de portée du Pi-Searcher)
Il y a peut-être
d’autres chaînes auto-rangées
dans Pi – mais le moteur de David
G. Andersen ne balaie
malheureusement « que » moins d’un millième des décimales connues du
« nombre utile aux sages » (cf. ici).
Et
dans les autres nombres irrationnels, que peut-on trouver ? Là aussi Nicolas
Graner m’a tiré d’embarras ; en deux coups de clavier Unix il m’a sorti les chaînes
auto-rangées :
- dans « e » (balayé sur 10
million de décimales) :
338, 2543, 91668, 170596 et 420297 sont à
leur place
- dans « racine carrée de 2 »
(balayé de même) :
565, 855262, 891665 et 3382639 sont
à leur place (ce
dernier nombre m’a été communiqué par Jean-Marc
Falcoz le 15 avril 2008).
- Jean-Marc
Falcoz a exploré 10 millions de décimales de Phi :
8, 93, 29420 et 84641 sont à leur place.
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Pour terminer,
faisons appel aux lecteurs. J’aimerais savoir en
effet si la séquence itérée A097614 évoquée plus haut, continue à l’infini ou entre dans une
boucle :
0 32
15 3 9
5 4 2
6 7 13
110 174 155
314 2120 5360
24671 119546 193002
240820 274454 153700
1397287 17916598 26245242
8880928 7320921 14726415
42969065 35308126 14978764
68756682... [infini
ou boucle ?]
Car des boucles, il y
en a plein (et peut-être même
rien que ça) ! Voici la plus courte que j’aie trouvé : 19 –> 37 –> 46 –> 19 [qui
se lit : « la chaîne 19 apparaît à la 37e place dans le développement décimal de Pi, la chaîne 37
apparaît à la 46e place,
la chaîne 46 apparaît à la 19e
place — et ça recommence...]
Trouverez-vous
aussi des boucles plus courtes ? En voici une de vingt étapes :
40
–> 70 –> 96 –> 180 –> 3664 –> 24717 –> 15492 –> 84198
–> 65489 –> 3725 –> 16974 –> 41702 –> 3788 –> 5757 –> 1958
–> 14609 –> 62892 –> 44745 –> 9385 –> 169 –> 40
à+
É.
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