Chaînes de chiffres à leur place dans Pi

 

 

Je suis tombé, via le site de l’inverseur de Simon Plouffe, sur cette page-ci. Stupeur et tremblements ! J’ai aussitôt compris tout le parti autoréférent que l’on pouvait tirer de ce genre de moteur.

 

Après m’être amusé un peu (entrée de mon numéro de téléphone, de ma date de naissance, du tour de poitrine d’un ami de ma femme, etc.) j’ai essayé de construire des suites susceptibles d’intéresser Neil J. A. Sloane et son « On-line Encyclopedia of Integer Sequences » [cette suite-ci fut finalement acceptée; elle fait penser à celle-, plus ancienne].

 

La question qui se pose immédiatement, en jouant avec ledit moteur, c’est de trouver des chaînes de chiffres « auto-rangées », c’est-à-dire qui soient à leur place dans les décimales de Pi. J’ai mis un peu de temps à réaliser que cette recherche avait déjà était faite – et que la solution se trouvait plus bas dans la page du Pi-Searcher... Pour les simples d’esprits, comme moi, ou pour les distraits, revoici la solution : 1, 16470, 44899 et 79873884 sont les premières chaînes de chiffres à leur place dans Pi (c’est la suite A057680 de l’OEIS) :

 

- la chaîne « 1 » est au rang n°1 des décimales de Pi (3,14159...)

- la chaîne 16470 est au rang n°16470 (elle est aussi au rang 1602, ce qui m’a bloqué longtemps – heureusement que Nicolas Graner est venu me poser des lunettes !)

- la chaîne 44899 est au rang n°44899 (là aussi il faut titiller la commande Find Next placée à côté du cartouche de recherche dans la page des résultats...)

- la chaîne 79873884 est au rang n°79873884 (mais ce résultat est hors de portée du Pi-Searcher)

 

Il y a peut-être d’autres chaînes auto-rangées dans Pi – mais le moteur de David G. Andersen ne balaie malheureusement « que » moins d’un millième des décimales connues du « nombre utile aux sages » (cf. ici).

 

Et dans les autres nombres irrationnels, que peut-on trouver ? Là aussi Nicolas Graner m’a tiré d’embarras ; en deux coups de clavier Unix il m’a sorti les chaînes auto-rangées :

 

- dans « e » (balayé sur 10 million de décimales) :

338, 2543, 91668, 170596 et 420297 sont à leur place

 

- dans « racine carrée de 2 » (balayé de même) :

565, 855262, 891665 et 3382639 sont à leur place (ce dernier nombre m’a été communiqué par Jean-Marc Falcoz le 15 avril 2008).

 

- Jean-Marc Falcoz a exploré 10 millions de décimales de Phi :

8, 93, 29420 et 84641 sont à leur place.

 

-----

 

Pour terminer, faisons appel aux lecteurs. J’aimerais savoir en effet si la séquence itérée A097614 évoquée plus haut, continue à l’infini ou entre dans une boucle :

 

0  32  15  3  9  5  4  2  6  7  13  110  174  155  314  2120  5360  24671  119546  193002  240820  274454  153700  1397287  17916598  26245242  8880928  7320921  14726415  42969065  35308126  14978764  68756682... [infini ou boucle ?]

 

 

Car des boucles, il y en a plein (et peut-être même rien que ça) ! Voici la plus courte que j’aie trouvé : 19 –> 37 –> 46 –> 19 [qui se lit : « la chaîne 19 apparaît à la 37e place dans le développement décimal de Pi, la chaîne 37 apparaît à la 46e place, la chaîne 46 apparaît à la 19e place — et ça recommence...]

 

Trouverez-vous aussi des boucles plus courtes ? En voici une de vingt étapes :

 

40 –> 70 –> 96 –> 180 –> 3664 –> 24717 –> 15492 –> 84198 –> 65489 –> 3725 –> 16974 –> 41702 –> 3788 –> 5757 –> 1958 –> 14609 –> 62892 –> 44745 –> 9385 –> 169 –> 40

 

à+

É.

 

__________

 

Pour revenir à la page d’accueil du site, cliquer i,ci.