Objet : Autodescription
de Huns
Hello Jacques,
Voici un algo
pour construire une suite décrivant la position des chiffres « 1 » qu’elle
contient. Pour que ladite suite soit sexy, j’ai essayé de la fabriquer telle qu’elle
comporte le plus de « 1 » possible (elle est mieux, en ce sens, que
les autres suites fourguées par moi à l’OEIS, je crois).
Prendre un nombre de la suite ci-dessous
et l’appeler k. Ce nombre k dit : « Le kème chiffre de la suite est un "1" »
(Il faut voir la suite comme une seule chaîne de caractères concaténés).
S =
1,11,2,3,111,6,7,1111,8,12,13,14,16,18,20,22,11111,28,29,30,31,32,40,111111,45,46,47,48,49,50,1111111,63,64,65,66,67,68,69,...
Le 1er
terme de la suite est « 1 » et dit : « Le
1er chiffre de la suite
est un « 1 » -- ce qui est vrai ;
Le 2e
terme de la suite est « 11 » et dit : « Le
11e chiffre de la suite
est un « 1 » -- ce qui est vrai ;
Le 3e
terme de la suite est « 2 » et dit : « Le 2e chiffre de la suite est un « 1 » -- ce qui
est vrai ;
Le 4e
terme de la suite est « 3 » et dit : « Le 3e chiffre de la suite est un « 1 » -- ce qui
est vrai ;
Le 5e
terme de la suite est « 111 » et dit : « Le 111e chiffre de la suite est un « 1 » -- ce qui
se vérifiera ;
Le 6e
terme de la suite est « 6 » et dit : « Le
6e chiffre de la suite
est un « 1 » -- ce qui est vrai ;
Le 7e
terme de la suite est « 7 » et dit : « Le
7e chiffre de la suite
est un « 1 » -- ce qui est vrai ;
Le 8e
terme de la suite est « 1111 » et dit : « Le 1111e chiffre de la suite est un
« 1 » -- ce qui se vérifiera ;
Le 9e
terme de la suite est « 8 » et dit : « Le
8e chiffre de la suite
est un « 1 » -- ce qui est vrai ;
... etc.
Voici l’algo de
construction :
(1) Tout terme de la suite ne figure qu’à
un seul exemplaire ;
(2) Commencer par décrire (sous forme de
nombre) la position qu’occupent les chiffres « 1 » qui n’ont pas encore été décrits ;
(3) Si l’espace manque pour écrire ce
nombre, remplir ledit espace à l’aide de chiffres « 1 » jusqu’à ce qu’apparaisse
le plus petit rep-unit disponible (un rep-unit
est un nombre comme 1,11,111 ou 1111111... qui ne s’écrit
qu’avec des « 1 ») ;
(4) Si tout a été décrit, poursuivre la
construction de la suite en écrivant le plus petit rep-unit disponible ;
(5) Aller en (2)
Construction de la suite :
— Il n’y a rien à décrire, on écrit donc « 1 »
qui est le plus petit rep-unit dispo :
S = 1,
— Toujours rien à décrire (puisque le « 1 »
se décrit lui-même), on écrit donc « 11 » qui est le rep-unit suivant (après « 1 ») :
S = 1,11,
— Ce « 11 » décrit un « 1 »
qui figurera en 11e position
dans la suite ; réservons-lui cette 11e
position (et marquons les espaces vides) :
S = 1,11, . . . . . . . 1,
— Les deux « 1 » du « 11 »
doivent encore être décrits ; ils sont en position 2 et 3 :
S = 1,11,2,3, . . .
. . 1,
— Tous les « 1 » de la suite sont
décrits à présent, on écrit donc « 111 » -- qui est le plus petit rep-unit disponible --, derrière « 3 » :
S = 1,11,2,3,111, .
. 1,
— On doit décrire ces nouveaux « 1 »;
ils sont en position 6, 7 et 8 -- mais la place manque pour écrire « 8 »
[cf. le point (3) de l’algo] ; on commence par
écrire 6 et 7 dans les espaces libres :
S = 1,11,2,3,111,6,7,1,
— ... on « accroche » trois
chiffres « 1 » au « 1 » derrière le « 7 » pour
faire apparaître le rep-unit 1111 (qui est le plus petit rep-unit dispo) :
S = 1,11,2,3,111,6,7,1111,
— On écrit le 8 qui était en suspens :
S = 1,11,2,3,111,6,7,1111,8,
— On décrit les « 1 » qui n’ont
pas encore été décrits (attention, le 1er
« 1 » du rep-unit 1111 a déjà été décrit -- par « 11 »,
comme on l’a vu) :
S = 1,11,2,3,111,6,7,1111,8,12,13,14,
- etc.
Si tu en as le temps (et l’envie)
pourrais-tu calculer un millier de termes ? Et estimer vers quoi tend (en
fonction de T, nombre total de chiffres de la suite, le rapport T/(qté de « 1 ») ?
Appelons ce rapport « Constante de Brougnard »,
si l’expression est libre...
Quid des huit autres suites qui commencent
par 2, 3, 4, 5, ... 9 ?
Voici les débuts de S(2) et S(3) :
S(2) =
2,22,1,3,222,6,7,8,2222,12,13,14,22222,15,17,23,24,25,26,31,33,35,37,222222,
S(3) = 3,1,33,4,333,6,7,8,3333,12,13,14,15,19,33333,26,27,28,29,30,39,41,333333,
Toutes ces suites S(k) convergent-elles
vers la même constante de Brougnard ?
à+
E.