Trois suites fractales avec
addition
On connaît cette
célèbre suite de nombres, issue d’une réussite aux cartes :
K = 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 1,
5, 3, 6, 2, 7, 4, 8, 1, 9, 5, 10, 3, 11, 6, 12, 2, 13, 7, 14, 4, 15, 8, 16, 1,
17, 9, 18, 5, 19, 10, 20, 3, 21, 11, 22, 6, 23, 12, 24, 2, 25, 13, 26, 7, 27,
14, 28, 4, 29, 15, 30, 8, 31, 16, 32, 1, 33, 17, 34, 9, 35, 18, 36, 5, 37, 19,
38, 10, 39, 20, 40, 3, 41, 21, 42,...
Si vous supprimez tous les
termes de rang impair dans K, vous retrouvez K.
La fractalité d’une suite est donc souvent définie
par une règle d’élimination de certains termes – ceux épargnés reformant la
suite d’origine.
Voici quelques règles
d’élimination basées sur l’addition.
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a] Soulignez dans K(1)
les termes T qui sont la somme des deux entiers précédant T ; les termes
non soulignés reformeront K(1) :
K(1)
= 0,1,1,1,2,1,3,2,5,1,6,3,9,2,11,5,16,1,17,6,23,3,26,9,35,2,37,11,48,5,53,16,69,1,70,17,87,6,93,...
= 0,1,1,1,2,1,3,2,5,1,6,3,9,2,11,5,16,1,17,6,23,3,26,9,35,2,37,11,48,5,53,16,69,1,70,17,87,6,93,...
= 0,1, ,1, ,1,
,2, ,1, ,3, ,2,
,5, ,1, ,6,
,3, ,9, ,2,
,11, ,5, ,16,
,1, ,17, ,6,
,...
=
0,1,1,1,2,1,3,2,5,1,6,3,9,2,11,5,16,1,17,6,...
C’est bien la suite
K(1) d’origine.
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b] Soulignez dans K(2)
les termes T qui sont la somme des deux entiers précédant T ; les termes
non soulignés reformeront K(2) :
K(2)
=
0,1,1,1,1,2,1,2,3,1,2,3,3,1,4,2,3,5,3,1,4,4,2,6,3,5,8,3,1,4,4,4,8,2,6,8,3,5,8,8,3,11,1,4,5,4,4,8,8,2,10,...
= 0,1,1,1,1,2,1,2,3,1,2,3,3,1,4,2,3,5,3,1,4,4,2,6,3,5,8,3,1,4,4,4,8,2,6,8,3,5,8,8,3,11,1,4,5,4,4,8,8,2,10,...
= 0,1, ,1,1, ,1,2, ,1,2,
,3,1, ,2,3, ,3,1, ,4,2, ,3,5, ,3,1, ,4,4,
,2,6, ,3,5, ,8,3, ,1,4,
,4,4, ,8,2, ,...
=
0,1,1,1,1,2,1,2,3,1,2,3,3,1,4,2,3,5,3,1,4,4,2,6,3,5,8,3,1,4,4,4,8,2,...
C’est bien la suite
K(2) d’origine.
[K(1) et K(2) ne diffèrent que par le pas
d’élimination retenu : 2n pour
K(1) et 3n pour K(2)]
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c] Soulignez dans K(3)
les termes T qui sont la somme de tous les entiers précédant T ; les
termes non soulignés reforment K(3) :
K(3) =
0,1,1,1,3,1,7,3,17,1,35,7,77,3,157,17,331,1,663,35, ...
= 0,1,1,1,3,1,7,3,17,1,35,7,77,3,157,17,331,1,663,35, ...
= 0,1, ,1, ,1, ,3, ,1,
,7, ,3, ,17,
,1, ,35, ...
= 0,1,1,1,3,1,7,3,17,1,35, ...
C’est bien la suite
K(3) d’origine.
-----
... etc. Beaucoup
d’autres fractales sont constructibles sur ce principe – les termes à souligner
ne devant même pas être disposés selon un motif bien précis (2n ou 3n comme ci-dessus). La règle de construction est visible là.
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