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Pour parvenir à une égalité arithmétique de bon aloi,
il faut prendre un des
« noyaux anagrammes » de Jean-Charles
Meyrignac et le compléter de « mots »
identiques – pour ce qui est des lettres utilisées – mais différents en valeur
arithmétique. La paire [220~122], par exemple,
s’écrit avec les mêmes lettres [DEUX, CENT, VINGT <=> CENT, VINGT, DEUX]
mais diffère arithmétiquement de 98 [220-122=98].
Prenons le noyau anagramme le plus simple
(les lettres à gauche du signe <=>
sont les mêmes qu’à droite) :
QUINZE
SOIXANTE CENT <=>
ET SIX ONZE
CINQUANTE
Transformons chaque mot en nombre quand
c’est possible :
15
60 100 <=>
ET 6 11 50
Insérons des signes « + » :
15 + 60 + 100 <=>
ET + 6 + 11 + 50
Pour se débarrasser du digramme « ET » il
faut l’intégrer à l’un des nombres suivants (inférieurs à 100) : 21, 31, 41, 51, 61, 71. Le plus petit
est 21, lequel sera dissocié en 20 + 1 de chaque côté du signe <=> puis
recomposé à droite en « 21 » (absorbant ainsi
« ET ») :
15 + 60 + 100 + 20 + 1 <=>
21 + 6 + 11 + 50
Les deux membres de l’égalité s’écrivent
avec les mêmes lettres ; celui de gauche vaut 196, celui de droite
88 :
15 + 60 + 100 + 20 + 1 <=>
21 + 6 + 11 + 50
---------196---------- -------88-------
Or nous voulons équilibrer les comptes. Il
faut donc combler la différence [196-88], soit 108. Puisque nous refusons tout
autre signe que « + », il va falloir utiliser l’astuce [220~122] vue plus haut.
La table ci-dessous détaille toutes les
différences de ce genre (inférieures à
1000) possibles en français. La différence se lit à gauche
du signe égale (=) ; à
droite est placée la plus petite paire de nombres
anagrammes la produisant ; enfin, entre crochets, les [mots communs]
constituant ladite paire :
Diff Paires
anagr. Mots
communs à la paire anagr.
42 =
224~182 [CENT DEUX QUATRE VINGT]
43 = 324+2~283 [CENT DEUX TROIS QUATRE VINGT]
56 =
81~24+1 [UN QUATRE VINGT]
98 =
201~102+1 [CENT UN DEUX]
99 =
302~203 [CENT DEUX TROIS]
141
= 324~183 [CENT TROIS QUATRE VINGT]
142 =
422+1~281 [CENT UN DEUX QUATRE
VINGT]
154
= 281~102+24+1 [CENT UN DEUX QUATRE
VINGT]
155
= 382~224+3 [CENT DEUX TROIS QUATRE VINGT]
197
= 301~103+1 [CENT UN TROIS]
198
= 402~204 [CENT DEUX QUATRE]
240
= 424~184 [CENT QUATRE QUATRE
VINGT]
241 =
524+2~285 [CENT DEUX CINQ QUATRE
VINGT]
253
= 381~103+24+1 [CENT UN TROIS QUATRE
VINGT]
254
= 482~224+4 [CENT DEUX QUATRE QUATRE
VINGT]
296
= 401~104+1 [CENT UN QUATRE]
297
= 502~205 [CENT DEUX CINQ]
339
= 524~185 [CENT CINQ QUATRE VINGT]
340 =
624+2~286 [CENT DEUX SIX QUATRE
VINGT]
352
= 481~104+24+1 [CENT UN QUATRE QUATRE VINGT]
353
= 582~224+5 [CENT DEUX CINQ QUATRE VINGT]
395
= 501~105+1 [CENT UN CINQ]
396
= 602~206 [CENT DEUX SIX]
438 = 624~186
[CENT SIX QUATRE VINGT]
439 =
724+2~287 [CENT DEUX SEPT QUATRE
VINGT]
451
= 581~105+24+1 [CENT UN CINQ QUATRE
VINGT]
452
= 682~224+6 [CENT DEUX SIX QUATRE VINGT]
494
= 601~106+1 [CENT UN SIX]
495
= 702~207 [CENT DEUX SEPT]
537
= 724~187 [CENT SEPT QUATRE VINGT]
538 =
824+2~288 [CENT DEUX HUIT QUATRE
VINGT]
550
= 681~106+24+1 [CENT UN SIX QUATRE
VINGT]
551
= 782~224+7 [CENT DEUX SEPT QUATRE VINGT]
593
= 701~107+1 [CENT UN SEPT]
594
= 802~208 [CENT DEUX HUIT]
636
= 824~188 [CENT HUIT QUATRE VINGT]
637 =
924+2~289 [CENT DEUX NEUF QUATRE
VINGT]
649
= 781~107+24+1 [CENT UN SEPT QUATRE
VINGT]
650
= 882~224+8 [CENT DEUX HUIT QUATRE VINGT]
692
= 801~108+1 [CENT UN HUIT]
693
= 902~209 [CENT DEUX NEUF]
735
= 924~189 [CENT NEUF QUATRE VINGT]
748
= 881~108+24+1 [CENT UN HUIT QUATRE
VINGT]
749
= 982~224+9 [CENT DEUX NEUF QUATRE VINGT]
791
= 901~109+1 [CENT UN NEUF]
847
= 981~109+24+1 [CENT UN NEUF QUATRE
VINGT]
Remarquez qu’à l’avant-dernière ligne du
tableau 791 s’obtient par la paire [901~109+1] et non par [900~109], plus
simple : pourquoi ? Parce que 900 s’écrit NEUF CENTS (avec S à CENT) alors que le S ne figure
pas dans 109 (CENT NEUF). De
même à la troisième ligne du tableau obtient-on 56 par [81~24+1] et non par
[80~24] à cause du S de QUATRE-VINGTS.
La différence 108 que nous espérions voir
figurer dans la première colonne du tableau en est absente ; il va falloir
combiner deux ou plusieurs lignes pour y arriver, ajoutant tantôt à gauche du
signe <=>, tantôt à droite, certains résultats partiels. Rappel :
QUINZE
SOIXANTE CENT <=>
ET SIX ONZE
CINQUANTE
15 + 60 + 100 + 20 + 1 <=>
21 + 6 + 11 + 50
---------196---------- -------88-------
La différence 108 de la paire [196~88] se
comble ainsi, grâce au tableau :
108 = 99+56-43-43+42-43+42-43+42-43+42
= 99 + 13 - 1 - 1
- 1 - 1
On trouve l’égalité suivante, après
quelques tâtonnements (!) :
203+203+206++211+221+250+283+283=1+2+24+102+115+122+124+162+302+302+302+302
Ça ne ressemble absolument à rien, mais
c’est une solution !
C’est par cette méthode que nous avons
trouvé l’anagraal
suivant, communiqué à Jean-Charles Meyrignac et Nicolas
Graner le 16 octobre 2008 :
_____________________________________________
2+5+14+16+25+41+61+74
= 4+6+11+12+24+54+56+71
_____________________________________________
a) même total G/D (238)
b) mêmes lettres G/D
c) mêmes chiffres utilisés G/D
d) même quantité de nombres G/D
e) uniquement des signes +
f) aucun nombre répété
Sans les contraintes (c) et (f) le total
descend à 158 :
__________________________________________
1+2+5+5+14+16+41+74 = 4+4+6+11+11+12+54+56
__________________________________________
a) même total G/D (158)
b) mêmes lettres G/D
c) mêmes chiffres utilisés G/D
d) même quantité de nombres G/D
e) uniquement des signes +
f) aucun nombre répété
L’anagraal pandigital minimum reste à trouver...
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