Sums of k consecutive digits

divisible by k

[Sent: Monday, March 25, 2013 0:00 AM]

Hello Jean-Marc, comment vas-tu ?

Ici printemps décalé d’un mois -- il a neigé 10 cm samedi soir sur mon quartier ! (et je fatigue grave sur la pelle à neige !-))

J’ai eu l’idée d’une petite suite sympa qui n’a pas l’air d’être dans l’OEIS -- sauf erreur de ma part.

C’est la lexico-première suite S(3) où la somme de 3 chiffres successifs de S(3) est divisible par 3 :

S(3) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12,31, 20, 15, 34, 23,...

Si tu as le temps, je suis curieux d’en voir le graphe !

__________

[Jean-Marc Falcoz] :

[...]

J’ai écrit un petit programme pour l’implémenter, mais il est vraiment très lent... Je vais essayer de le speeder un peu. En attendant, je te livre déjà quelques résultats (pour k=2, 3, 4, 5, 6 et les graphiques correspondants).

[Rappel : la somme de 2 chiffres voisins quelconques de la suite est divisible par 2, que ces chiffres soient séparés par une virgule ou non]

S(2)= 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 31, 33, 35, 37, 39, 51, 53, 55, 57, 59, 71, 73, 75, 77, 79, 91, 93, 95, 97, 99, 111, 113, 115, 117, 119, 131, 133, 135, 137, 139, 151, 153, 155, 157, 159, 171, 173, 175, 177, 179, 191, 193, 195, 197, 199, 311, 313, 315, 317, 319, 331, 333, 335, 337, 339, 351, 353, 355, 357, 359, 371, 373, 375, 377, 379, 391, 393, 395, 397, 399, 511, 513, 515, 517, 519, 531, 533, 535, 537, 539, 551, 553, 555, 557, 559, 571, 573, 575, 577, 579, 591, 593, 595, 597, 599, 711, 713, 715, 717, 719, 731, 733, 735, 737, 739, 751, 753, 755, 757, 759, 771, 773, 775, 777, 779, 791, 793, 795, 797, 799, 911, 913, 915, 917, 919, 931, 933, 935, 937, 939, 951, 953, 955, 957, 959, 971, 973, 975, 977, 979, 991, 993, 995, 997, 999, 1111, 1113, 1115, 1117, 1119, 1131, 1133, 1135, 1137, 1139, 1151, 1153, 1155, 1157, 1159, 1171, 1173, 1175, 1177, 1179, 1191, 1193, 1195, 1197, 1199, 1311, 1313, 1315, 1317, 1319, 1331, 1333, 1335, 1337, 1339, 1351, 1353, 1355, 1357, 1359, 1371, 1373, 1375, 1377, 1379, 1391, 1393, 1395, 1397, 1399, 1511, 1513, 1515, 1517, 1519, 1531, 1533, 1535, 1537, 1539, 1551, 1553, 1555, 1557, 1559, 1571, 1573, 1575, 1577, 1579, 1591, 1593, 1595, 1597, 1599, 1711, 1713, 1715, 1717, 1719, 1731, 1733, 1735, 1737, 1739, 1751, 1753, 1755, 1757, 1759, 1771, 1773, 1775, 1777, 1779, 1791, 1793, 1795, 1797, 1799, 1911, 1913, 1915, 1917, 1919, 1931, 1933, 1935, 1937, 1939, 1951, 1953, 1955, 1957, 1959, 1971, 1973, 1975, 1977, 1979, 1991, 1993, 1995, 1997, 1999, 3111, 3113, 3115, 3117, 3119, 3131, 3133, 3135, 3137, 3139, 3151, 3153, 3155, 3157, 3159, 3171, 3173, 3175, 3177, 3179, 3191, 3193, 3195, 3197, 3199, 3311, 3313, 3315, 3317, 3319, 3331, 3333, 3335, 3337, 3339, 3351, 3353, 3355, 3357, 3359, 3371, 3373, 3375, 3377, 3379, 3391, 3393, 3395, 3397, 3399, 3511, 3513, 3515, 3517, 3519, 3531, 3533, 3535, 3537, 3539, 3551, 3553, 3555, 3557, 3559, 3571, 3573, 3575, 3577, 3579, 3591, 3593, 3595, 3597, 3599, 3711, 3713, 3715, 3717, 3719, 3731, 3733, 3735, 3737, 3739, 3751, 3753, 3755, 3757, 3759, 3771, 3773, 3775, 3777, 3779, 3791, 3793, 3795, 3797, 3799, 3911, 3913, 3915, 3917, 3919, 3931, 3933, 3935, 3937, 3939, 3951, 3953, 3955, 3957, 3959, 3971, 3973, 3975, 3977, 3979, 3991, 3993, 3995, 3997, 3999,...

[Rappel ci-dessous : la somme de 3 chiffres voisins quelconques de la suite est divisible par 3, que ces chiffres soient séparés par une virgule ou non]

S(3)= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 31, 20, 15, 34, 23, 18, 37, 26, 42, 61, 29, 45, 64, 50, 48, 67, 53, 72, 91, 56, 75, 94, 59, 78, 97, 80, 120, 123, 126, 129, 150, 153, 156, 159, 180, 183, 186, 189, 420, 423, 426, 429, 450, 453, 456, 459, 480, 483, 486, 489, 720, 723, 726, 729, 750, 753, 756, 759, 780, 783, 786, 789, 1201, 83, 1204, 86, 1207, 89, 1231, 201, 204, 207, 231, 234, 237, 261, 264, 267, 291, 294, 297, 501, 504, 507, 531, 534, 537, 561, 564, 567, 591, 594, 597, 801, 804, 807, 831, 834, 837, 861, 864, 867, 891, 894, 897, 2012, 312, 315, 318, 342, 345, 348, 372, 375, 378, 612, 615, 618, 642, 645, 648, 672, 675, 678, 912, 915, 918, 942, 945, 948, 972, 975, 978, 3120, 1234, 2015, 3123, 1237, 2018, 3126, 1261, 2042, 3129, 1264, 2045, 3150, 1267, 2048, 3153, 1291, 2072, 3156, 1294, 2075, 3159, 1297, 2078, 3180, 1501, 2312, 3183, 1504, 2315, 3186, 1507, 2318, 3189, 1531, 2342, 3420, 1534, 2345, 3423, 1537, 2348, 3426, 1561, 2372, 3429, 1564, 2375, 3450, 1567, 2378, 3453, 1591, 2612, 3456, 1594, 2615, 3459, 1597, 2618, 3480, 1801, 2642, 3483, 1804, 2645, 3486, 1807, 2648, 3489, 1831, 2672, 3720, 1834, 2675, 3723, 1837, 2678, 3726, 1861, 2912, 3729, 1864, 2915, 3750, 1867, 2918, 3753, 1891, 2942, 3756, 1894, 2945, 3759, 1897, 2948, 3780, 4201, 2972, 3783, 4204, 2975, 3786, 4207, 2978, 3789, 4231, 5012, 6120, 4234, 5015, 6123, 4237, 5018, 6126, 4261, 5042, 6129, 4264, 5045, 6150, 4267, 5048, 6153, 4291, 5072, 6156, 4294, 5075, 6159, 4297, 5078, 6180, 4501, 5312, 6183, 4504, 5315, 6186, 4507, 5318, 6189, 4531, 5342, 6420, 4534, 5345, 6423, 4537, 5348, 6426, 4561, 5372, 6429, 4564, 5375, 6450, 4567, 5378, 6453, 4591, 5612, 6456, 4594, 5615, 6459, 4597, 5618, 6480, 4801, 5642, 6483, 4804, 5645, 6486, 4807, 5648, 6489, 4831, 5672, 6720, 4834, 5675, 6723, 4837, 5678, 6726, 4861, 5912, 6729, 4864, 5915, 6750, 4867, 5918, 6753, 4891, 5942, 6756, 4894, 5945, 6759, 4897, 5948, 6780, 7201, 5972, 6783, 7204, 5975, 6786, 7207, 5978, 6789, 7231, 8012, 9120, 7234, 8015, 9123, 7237, 8018, 9126, 7261, 8042, 9129, 7264, 8045, 9150, 7267, 8048, 9153, 7291, 8072, 9156, 7294, 8075, 9159, 7297, 8078, 9180, 7501, 8312, 9183, 7504, 8315, 9186, 7507, 8318, 9189, 7531, 8342, 9420, 7534, 8345, 9423, 7537, 8348, 9426, 7561, 8372, 9429, 7564, 8375, 9450, 7567, 8378, 9453, 7591, 8612, 9456, 7594, 8615, 9459, 7597, 8618, 9480, 7801, 8642, 9483, 7804, 8645, 9486, 7807, 8648, 9489, 7831, 8672, 9720, 7834, 8675, 9723, 7837, 8678, 9726, 7861, 8912, 9729, 7864, 8915, 9750, 7867, 8918, 9753, 7891, 8942, 9756, 7894, 8945, 9759, 7897, 8948, 9780, 12012, 9783, 12015, 9786, 12018, 9789, 12042, 31201, 8972, 31204, 8975, 31207, 8978, 31231, 20120, 12045, 31234, 20123, 12048, 31237, 20126, 12072, 31261, 20129, 12075, 31264, 20150, 12078, 31267, 20153, 12312, 31291, 20156, 12315, 31294, 20159, 12318, 31297, 20180, 12342, 31501, 20183, 12345,...

[Rappel ci-dessous : la somme de 4 chiffres voisins quelconques de la suite est divisible par 4, que ces chiffres soient séparés par une virgule ou non]

S(4)= 1, 2, 3, 6, 5, 23, 21, 27, 25, 63, 29, 67, 61, 232, 9, 236, 12, 7, 65, 272, 16, 32, 52, 36, 56, 72, 92, 76, 96, 321, 276, 123, 69, 632, 127, 212, 325, 636, 163, 216, 329, 672, 167, 252, 361, 676, 523, 256, 365, 2321, 2325, 2329, 2361, 2365, 2369, 2721, 2725, 2729, 2761, 2765, 2769, 6321, 6325, 6329, 6361, 6365, 6369, 6721, 6725, 6729, 6761, 6765, 6769, 23212, 369, 23216, 721, 23252, 725, 23256, 729, 23292, 761, 23296, 765, 23612, 769, 23616, 3212, 3216, 3252, 3256, 3292, 3296, 3612, 3616, 3652, 3656, 3692, 3696, 7212, 7216, 7252, 7256, 7292, 7296, 7612, 7616, 7652, 7656, 7692, 7696, 32123, 292, 32127, 296, 32163, 612, 32167, 616, 32523, 652, 32527, 656, 32563, 692, 32567, 696, 32923, 2123, 2127, 2163, 2167, 2523, 2527, 2563, 2567, 2923, 2927, 2963, 2967, 6123, 6127, 6163, 6167, 6523, 6527, 6563, 6567, 6923, 6927, 6963, 6967, 21232, 527, 21236, 563, 21272, 567, 21276, 923, 21632, 927, 21636, 963, 21672, 967, 21676, 1232, 1236, 1272, 1276, 1632, 1636, 1672, 1676, 5232, 5236, 5272, 5276, 5632, 5636, 5672, 5676, 9232, 9236, 9272, 9276, 9632, 9636, 9672, 9676, 12321, 23652, 32927, 25232, 12325, 23656, 32963,...

[Rappel ci-dessous : la somme de 5 chiffres voisins quelconques de la suite est divisible par 5, que ces chiffres soient séparés par une virgule ou non]

S(5)= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 51, 23, 40, 12, 34, 56, 28, 45, 17, 39, 512, 84, 517, 89, 562, 340, 62, 345, 67, 390, 123, 90, 128, 95, 173, 401, 73, 406, 78, 451, 234, 567, 395, 178, 456, 239, 5123, 901, 284, 5128, 906, 289, 5173, 951, 734, 5178, 956, 739, 5623, 4012, 840, 623, 4017, 845, 628, 4062, 890, 673, 4067, 895, 678, 4512, 3401, 784, 5628, 4517, 3406, 789, 5673, 4562, 3451, 2340, 1234, 5678, 4567, 3456, 2345, 1239, 51234, 51239, 51284, 51289, 51734, 51739, 51784, 51789, 56234, 56239, 56284, 56289, 56734, 56739, 56784, 56789, 512340, 1284, 512345, 1289, 512390, 1734, 512395, 1739, 512840, 1784, 512845, 1789, 512890, 6234, 512895, 6239, 517340, 6284, 517345, 6289, 517390, 6734, 517395, 6739, 517840, 6784,...

[Rappel ci-dessous : la somme de 6 chiffres voisins quelconques de la suite est divisible par 6, que ces chiffres soient séparés par une virgule ou non]

S(6)= 1, 2, 3, 4, 5, 9, 7, 8, 34, 53, 12, 94, 59, 18, 345, 31, 23, 45, 37, 29, 453, 72, 945, 91, 83, 459, 78, 3453, 123, 4531, 89, 4537, 234, 531, 294, 537, 834, 591, 894, 597, 2345, 97, 2945, 312, 3459, 129, 4591, 8345, 318, 9453, 183, 4597, 8945, 372, 9459, 189, 45312, 34531, 23453, 723, 45318, 34537, 23459, 729, 45372, 34591, 29453, 783, 45378, 34597, 29459, 789, 45912, 94531, 83453, 1234, 5312, 94537, 83459, 1294, 5318, 94591, 89453, 1834, 5372, 94597, 89459, 1894, 5378, 345312, 345318, 345372, 345378, 345912, 345918, 345972, 345978, 945312, 945318, 945372, 945378, 945912, 945918, 945972, 945978, 3453123, 45918, 3453129, 45972,...

Merci, Jean-Marc !

[Et merci à Lars Blomberg aussi pour sa remarque sur le fait qu’aucune de ces suites ne peut être une permutation des nombres naturels > 0]

à+

É.