[Bestiaire ébloui des lexies tératoïdes]

Chapitre 59

Mots équilibrés

 

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En février 1998, Rex Gooch (de Welwyn, Angleterre), revenait sur une catégorie de mots qui hantent la revue américaine Word Ways depuis trente ans : les mots équilibrés (« balanced words »).

 

Voici comment déterminer si un mot est équilibré ou non.

 

D’abord, on en fixe le centre :

 

- pour les mots qui ont un nombre impair de lettres c’est facile, la lettre milieu est le centre cherché ;

- pour les mots ayant un nombre pair de lettres le centre est dans l’espace qui sépare les deux lettres centrales.

 

On considère ensuite que les deux moitiés de mot ainsi établies sont des bras de levier auxquels s’accrochent les lettres : plus une lettre est lourde (son rang dans l’alphabet) et loin du centre, plus elle tirera son bras de levier vers le bas.

Pour faire des calculs précis on considère que les lettres et les espaces qui les séparent sont de largeur identique.

 

Voyons pourquoi le mot minute est équilibré (nous l’écrirons M.I.N.U.T.E pour plus de clarté, chaque point représentant un blanc) :

 

- on dit que son centre occupe la « position zéro », entre N et U ;

- on décide ensuite que ces deux lettres, le N et le U, sont à 1 unité du centre, le I et le T à 3 unités (à cause des espaces représentés ici par les points), le M et le E à 5 ;

- on calcule les bras de levier : il faut remplacer chaque lettre par son rang dans l’alphabet et lester ce rang de sa distance au centre.

 

M.I.N.U.T.E

54321012345

 

Le bras MIN a un poids (les physiciens disent moment) de :

Mx5 + Ix3 + Nx1 = 13x5 + 9x3 +14x1 = 65 + 27 + 14 = 106

 

Le bras UTE a un moment de :

Ux1 + Tx3 +Ex5 = 21x1 + 20x3 + 5x5 = 21 + 60 + 25 = 106

 

- on compare les deux forces : si elles sont identiques, comme ici , le mot est dit équilibré.

 

 

Qu’en est-il du mot heure ? Le centre en est la lettre U :

 

H.E.U.R.E

432101234

 

Bras gauche : Hx4 + Ex2 = 8x4 + 5x2 = 32 + 10 = 42.

 

Bras droit : Rx2 + Ex4 = 18x2 + 5x4 = 36 + 20 = 56.

 

Heure n’est donc pas stable et penche de 14 unités (56-42) vers la droite (on verra plus tard que cette différence est la mesure du déséquilibre du mot considéré).

 

Si la minute est équilibrée, l’heure ne l’est pas. Ni la seconde (qui penche de 66 vers la gauche, que nous noterons -66), ni le jour (+30), ni la nuit (+6), ni le mois (+12), ni le trimestre (-64), ni l’an (+13), presque l’année, (-2), ni la climatérique (+175, nombre divisible par 7 mais pas par 9 !), ni le triennat (-61), ni le lustre (-43), ni le quinquennat (-124), ni le septennat (-36), ni la décennie (+69), ni le saros (+28), ni le siècle (-63), ni le millénaire (-48)...

 

En fait très peu de mots sont équilibrés : 0,58 % d’entre eux environ ! Et c’est pourquoi la minute comme la décade nous sont chères !

 

Voici quelques spécimens équilibrés, hors palindromes (kayak, rotor, elle, non...), ces derniers l’étant par définition.

 

[4 lettres] :

bila, bora, brie, broc, dira, dôle, dure, fade, fêta, file, fixa, fore, gage, hava, imam, jeté, juin (seul mois équilibré de l’année), lave, loin, maye, ouïs, pion (seule pièce d’échecs avec la tour), pris, rifs, tors, tour, trou, voix.

 

[5 lettres] :

atèle (singe), aviné, azuré, boxai, brûlé, cirée, citée, corsa, couci (mais pas couça), crâne, créné, creva, dogme, drapé, farce, flâne, frite, fusil, gamma, garée, gâtée, gavée, gazée (on voit bien avec cette série que la lettre centrale des mots impairs n’intervient pas dans l’équilibre final), génie, gosse, grave grève, grive, idole, ilote, imbue, juger, jurer, juter, Kenya, lobas, lofas, louas, lovas, menue, muais, mugis, munis, mûris, nasse, navel (orange), noces, notes, noyau, ovins, païen, paroi, Pékin (et Tokyo), pépin, piger, piler, piper, radin, rapin, ravin, réacs, renom, rings, rivet, rusez, scier, selon, séton (mèche pour drainer une plaie), sirop, Solex, taper, tarer, tâter, taxer, tenir,  trapu, vagir, valet, verso (mais pas recto qui présente un déséquilibre de -18).

 

[6 lettres] :

agenda, agrafe, arrosa, avachi, bercée, boucan, brille, codera, convié, copine, décade, déniée, discal, élavée, emparé, enfuie, énorme, éprise, essayé, examen, exclue, fanage, flegme, floral, généra, gousse, gueuse, ignare, illico, impure, isoler, laminé, loupes, minute, mohair, molles, mormon, mottes, opérés, percés, pétrin, piéger, plages, poètes, poison, râteau, reniés, saboté, sécher, sermon, signet, slaves, soupez, suivez, tabacs, tesson.

 

[7 lettres] :

amputée, animale, annotée, aplanie, apparié, asexuée, auberge, biffage, cerclée, chorale, colorié, combine, comparé, cyclope, démence, drachme, écimage, élargie, enquête, épitomé (abrégé d’un livre), errante, étagère (112 livres de chaque côté ?), éternel, étoffer, étudiés, exigées, exilées, exulter, fixisme (théorie biologique), flairée, fourbes, funeste, furtifs, fuselés, globule, goulags, goûtées, guidées, guinées, guipure, harcelé, hérésie, hermine, héroïne, humbles, idéales, inactif, intérim, Jéhovah, jugulés, labiale, lamelle, libéral, litiges, mahatma, materne, maxwell, mirette, mitoyen, mofette, motivés, muezzin, musclez, muselez, naturel, nobliau, nourris, nombres, norrois, obséder, ohmique, oiselet, oléique, ordures, paddock, parader, parsecs (unités de distance astronomique), pencher (lequel ne penche pas...), pensées, percute, permute, peuples, pirater, plagier, pipelet, pointes, pollens, poltron, potiers, prenant, preuves, produit, raviner, recensé, récolte, revenir, révisés, rigoles, salades, savanes, sevrant, shérifs, sommons, sondeur, songeur, sonneur, spiders, stayers (cyclistes), surcoût, surtout, tapiner, tchèque, testant, transit, vibrato, warrant (titre).

 

[8 lettres] :

amatrice, applaudi, araignée, arnaquée, asservie, biologie, cassable, chaulage, civilisa, clochard, contrôle, courtisé, coutelas, craquelé, crémerie, cutanées, décodage, démâtage, émancipa, étourdir, étrusque, évoluais, extirpés, feutrine, finitude, frisante, gonzesse, goyavier, informel, inoccupé, lézardes, libraire (153 livres sous chaque bras ?), localisé, lorrains, lyncheur, monarque, objectif, oblitéré, offensif, prélevés, pudiques, quadrant, ramifiée, ratichon, réalisme, refuznik, repriser, salpêtre, supports, valables.

 

[9 lettres et plus] :

agrologie, aguichera, amourachés, antimoine, antithèse, appartenances, appréciabilité, arrogante, assiégées, assouplies, assourdissantes, attenante, attentisme, autonomiste, aveyronnais, battologie (figure de rhétorique qui consiste à ajouter ou répéter une phrase sans que cela n’apporte rien au récit), bobsleigh, bouquineuse (deux piles de 376 livres ?), boutonneuse, bronchite, bronzages, capilotade, cartouche, centuplée, colorimétrie, colportages, congolaise, consubstantiation, contradictoire, contrevérité, coordonné, cosmétologies, couturées, crucifier, démoralisatrice, dérougie, déshabillée, dissuadés, dubitatif, dynamisées, éclissage, édulcorée, effluence, électrifié, émasculée, émulsifiant, enchifrenée, enroulées, envoûtées, éthiopien, étrusque, euphonies (harmonies sonores), exigibles, exorbités, expansivité, exploiter, expression, extrovertis, fendillée, florissante, frigorifier, funérailles, gallicane (église), genouillère, gesticule, givrante, glissando, gouvernes, grainière, grivèleries (petites escroqueries), gynécologique, heptagone (seul polygone équilibré), hippologies (études du cheval), historiographiques (c’est notre record du jour, dix-huit lettres équilibrées pour deux moments opposés de 1096 – ferez-vous mieux ?), histrionique (cabotin), hitlérisme, horlogères, houblonnier, hydrométrique, illustration, imparables, impavides (sans émotion apparente), implorées, improprement, inattentif, inchoatif (forme verbale indiquant une action qui commence ou progresse), incommodées, incompétences, inconvenante, incrédule, individualisé, initiales, insensiblement, instiguer, intellectuel, intensive, interactifs, interconnectant, interposé, intimiste, intriguer, intromission, introverti, intuition, invalidant, invocation, islamologue, jonglerais, jongleras, kantienne, kinésithérapies, libidinal, liquidation, littérature, lituaniens, maltraité, marbrière, margarine, marinades, marronnasse, masturbés, matérialité, méditerranéen, mégalomane, meurtries, minuscules, monitorat, montantes, moraliser, morcelant, mortifiants, moucheron, moumoutes, néphrologue, nomination, nucléonique, numériques, obsédante, oiselières, opercules, optimisations, oratoires, orientation, ostréiculteur, pantoufler, papelardise, papillonne, parachevé, participative, paternité, paupiette, pékinoise, perfectibles, pèserais, pèseras (seules formes verbales équilibrées du verbe peser : aucun mot évoquant l’équilibre, l’horizontalité, l’assiette, la stabilité, le contrepoids, la balance, la bascule, le trébuchet, etc. ne convient non plus ; aplomb faisant -1 et pesées +1 s’en approchent sans gloire...), pharisien, phototype, piocheuse, plastiquées, plutoniums, poivriers, pomoculture, potassiques, poussiéreux, préceptorales, préoccuper, prescientes, présélectionner, primitives, probabiliste, probatoires, propagateur, punisseur, quadrivalent, quadruplés, radiolaire (organisme peuplant le plancton), ramifiées, ramollissante, reboucher, réciprocité, rectorales, refondatrices, réimperméabilisés, remmailler, rendormi, renfrogner, repassées, reptation, résistantes, restreint, retardant, retransmettre, réveillant, sablonnière, salamalecs, saoudiennes, scolarisées, scrofules (lésions de la peau), sardinier, sémitique, seringuer, séropositives, serrement, sertisseuses, serviettes, seulement, sextuplez (dont chaque bras de 318 est divisible par 6 !), slalomeuse, socialiste (le socialiste, le fouriériste et le libéral sont équilibrés, mais pas le social-chrétien [-1], ni le monarchiste [+2], ni le communiste [+64], ni, paradoxalement, le centriste [+104] ou le réformateur [+108], encore moins l’écologiste [+122], l’anarchiste [+146], ou le conservateur [+153] — et surtout pas le collectiviste [+192]), stabiliser, stagflation, suggestives, talqueuse, tapissier, totaliseur, traduites, transalpins, transfert, travestir, trépidants, trimoteur, trompeurs, unanimismes, vendangeuse, vigneronnes, vignettiste, volumineux et zakouskis.

 

 

Calculés par Nicolas Graner – lequel nous a fourni toutes les listes de ce chapitre –, voici les trente premiers nombres équilibrés. Il faut les écrire sans espaces : 31 doit être composé trenteetun.

 

31, 400, 1409, 2245, 3524, 4652, 4713, 6075, 6912, 7113, 7613, 8400, 9405, 11300, 11412, 12364, 13513, 13752, 13944, 14243, 15167, 15756, 15793, 16119, 16155, 16205, 17454, 20401, 20529, ... cette série semble se poursuivre à l’infini.

 

Nicolas a trouvé trois nombres inférieurs à un million qui sont doublement équilibrés, au sens ci-dessus mais au sens palindrome aussi ! Ce sont 44844, 469964 et 964469 :

 

44844

quarantequatremillehuitcentquarantequatre

 

469964

quatrecentsoixanteneufmilleneufcentsoixantequatre

 

964469

neufcentsoixantequatremillequatrecentsoixanteneuf

 

 

 

On notera par ailleurs que le nombre 94, écrit en chiffres romains – XCIV –, est équilibré.

 

Comment faire entrer l’autoréférence dans cette recherche ? Se pourrait-il qu’un nombre non-équilibré ait la valeur de son propre déséquilibre ?

 

Un a un moment gauche de 21 (c’est le rang de U) et un moment droit de 14 (rang de N). Le moment résultant est de 7 (soit 21 moins 14 - on ne s’occupe pas du signe, seulement du déséquilibre). Un ne décrit donc pas son déséquilibre puisque celui-ci vaut 7. Notons-le ainsi (7) et balayons la suite des nombres entiers :

 

deux (76), trois (22), quatre (50), cinq (47), six (10), sept (14), huit (24), neuf (8), dix (40), onze (18), douze (26), treize (47), quatorze (13)...

 

Plusieurs nombres échouent d’une unité comme neuf (8), quatorze (13) ou quarantequatre (43). Et voici que surgit 50, cinquante, dont la différence des moments (168 et 218), fait, précisément, 50 ! Alléluia ! Y en a-t-il d’autres ? Nous l’ignorons : après avoir testé centdixneuf, qui échoue de peu (120) et centquarantequatre (145), nous n’avons pas cherché plus loin...

 

[note du 3 novembre 2005] – Reçu ce jour ce complément de Nicolas :

 

« Je te confirme que les nombres cités dans ce paragraphe sont les seuls autoréférents exacts ou à un près. Je l'ai vérifié directement jusqu'à un million, ce qui est largement plus que nécessaire. J'imagine mal un mot ayant un déséquilibre d'un million ou plus... Plus précisément, le déséquilibre maximal d'un nombre croît comme le nombre de ses lettres, donc comme le logarithme du nombre lui-même. Dès qu'on a atteint des nombres très largement plus grands que leur déséquilibre, on peut continuer à l'infini sans aucun risque que les déséquilibres rattrapent les nombres. Il est donc certain que 50 est le seul autoréférent parfait. »

 

 

Il ne semble pas y avoir de nombre romain valant son déséquilibre ; LXXIII (75) échoue de deux unités...

 

En anglais il n’y a, en tout et pour tout, que deux nombres qui affichent leur propre déséquilibre : twentysix (26), et fourhundredfortytwo (442), découverts par Ilan Mayer, de Toronto au Canada.

 

Nous laisserons les lecteurs pondérés explorer ces terres relativement vierges...

 

 

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