Awalé
(avec
des nombres)
La technique de semis pratiquée ci-dessous rappelle
en partie celle de l’awalé.
On part du nombre 541 par exemple – lequel sera vu
comme trois bols contenant 5, 4 et 1 graines (il y a
autant de bols que de chiffres dans le nombre de départ). À l’entame d’une
« partie » on ramasse les graines du bol le plus à gauche, lesquelles
sont ensuite semées une par une vers la droite (le dernier bol à droite est
suivi du premier bol à gauche). Le bol où se termine un semis est aussi celui
par lequel commence le suivant. Et ainsi de suite. Voici le déroulé d’une
partie (la couleur jaune est portée sur les bols de début et de fin de
semis) :
5 4 1
1 6 3
2 7 1
3 7 0
1 8 1
0 9
1
3 3 4
4 1
5
4 0 6
6 2 2
7 3
0
8 1
1
8 0 2
9 1
0
9 0 1
10 0 0
3 4
3
4 1 5
6 3
1
7 1
2
7 0 3
8 1 1
9 1 0
3 4 3
1 5 4
0 6
4
2 2 6
3 0 7
1 1
8
0 2
8
1 0 9
0 1
9
0 0 10
4 3 3
1 5
4
3 1 6
1 2 7
0 3
7
1 1 8
1 0 9
4 3 3
5 4 1
6 4 0
2 6 2
0 7 3
1 8 1
2 8 0
0 9 1
1 9 0
0 10
0
3 3 4
5 4 1 <-- état des bols identique (couleur
comprise) à l’état de départ
On dira donc du nombre 541 qu’il boucle en 51
étapes.
Qu’en est-il pour chacun des nombres naturels ?
« 1 » boucle en une seule étape,
évidemment. De même pour les nombres allant de 2 à 9. Voyons ce qui se passe
ensuite pour 10, 11, 12, 13... :
10
01
10 <-- boucle en 2 étapes
11
02
11
20
11 <-- boucle en 4 étapes
12
03
21
12 <-- boucle en 3 étapes
13
04
22
31
40
22
13 <-- boucle en 6 étapes
...
Y a-t-il moyen de trouver, en fonction de
« n », le nombre d’étapes qu’il faut à « n » pour
boucler ?
La suite S des valeurs de
bouclage commence donc ainsi :
Sbouclage = 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 2, 4, 3, 6, ...
__________
Amitiés,
É.
(mise à jour – en anglais – ici)