Suite des masses
(et antimasses)
Soit une tige en
acier en équilibre autour du zéro :
9876543210123456789
.........0......... <—— tige
On accroche à gauche
une masse de 5 kg
située à 3 unités de distance du zéro :
9876543210123456789
......5..0.........
On ajoute une masse
de 3 kg à 7 unités
du zéro, toujours à gauche :
9876543210123456789
..3...5..0.........
La tige sera
équilibrée si l’on accroche une masse de 9 kg à droite, à 4 unités du
zéro :
9876543210123456789
..3...5..0...9.....
En effet, vu les bras
de levier, on a bien (3×7)
+ (5×3) = 9×4
21 + 15
= 36
Représentons cet
équilibre de manière plus compacte :
0123456789
0..59..3..
... et disons que les
masses jaunes sont équilibrées par l’antimasse turquoise (la
demi-tige n’a pas de masse).
__________
Nous nous proposons
de construire une suite S de nombres
vus comme alternance de masses et d’antimasses,
d’équilibres et de déséquilibres.
Commençons par
accrocher à notre demi-tige les quantités 2 et 1, lesquelles permettent une première stabilité :
0123456789
021.......
Une fois l’équilibre
obtenu, on déséquilibre en transformant l’antimasse
en masse :
0123456789
021.......
Quelles seraient les
masse ‘x’ et antimasse ‘y’ les plus petites possibles
permettant un nouvel équilibre ?
0123456789
021xy.....
Il faut résoudre
l’équation (3×x)+(2×1)+(1×2)= 4×y soit [3x+4=4y] ——>
laquelle fournit les valeurs x=0 et y=1.
On a donc le nouvel
équilibre suivant :
0123456789
02101.....
On déséquilibre et
itère :
0123456789
02101xy...
Équation : (5×x)+(4×1)+(3×0)+(2×1)+(1×2)= 6×y soit [5x+8=6y] ——> x=2 et y=3 ——> dés/équilibre suivant :
0123456789
0210123xy...
Équation ——>
7x+36=8y ——> x=4 et y=8 ——> dés/équilibre
suivant :
0123456789
021012348xy...
Équation ——>
9x+128=10y ——> x=8 et y=20 ——> dés/équilibre
suivant (apparition de la suite S) :
n = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
S = 0,2,1,0,1,2,3,4,8,8,20,
x, y,
Équation ——>
11x+400=12y ——> x=4 et y=37 ——> dés/équilibre
suivant :
n = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
S =
0,2,1,0,1,2,3,4,8,8,20, 4,37, x, y,
Équation ——>
13x+888=14y ——> x=14 et y=901 ——> dés/équilibre
suivant :
n = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
S =
0,2,1,0,1,2,3,4,8,8,20, 4,37,14,901,x, y,
... etc.
__________
Maximilian Hasler, de la liste SeqFans [http://list.seqfan.eu] m’a
envoyé ceci, quelques secondes après mise en ligne de cette page (le 8 octobre 2009), corrigeant mes calculs à la main :
After the
initial 0,2,1, the sequence goes on :
0, 1, 2, 3, 4, 8,
8, 20, 4, 37, 6, 69, 12, 132, 12, 246, 16, 458, 16, 848, 16, 1570, 12, 2910, 8,
5412, 12, 10114, 24, 18987, 8, 35748, 0, 67524, 8, 127948, 8, 243109, 32,
463096, 16, 884108, 2, 1691339, 4, 3241737, 2, 6224137, 12, 11969506, 50,
23052431, 44, 44458303, 8, 85850524, 44, 165977723, 50, 321247255, 36,
622416592, 20, 1207110986, 28, 2343215471, 6, 4552532921, 28, 8852147374, 26,
17225800321, 36, 33544979608, 38, 65369703889, 44, 127470922627, 26,
248723751493, 56, 485603514875, 70, 948620819825, 12, 1854122511488, 88,
3625839578108, 76, 7094033957243, 38, 13886194129109, 76, 27193796836247, 60, 53277642781278,
88, 104424179851392, 84, 204753293826342, 48, 401631460967103, 16,
788107017746784, 60, 1547024886688191, 96, 3037794322951452, 80,
5967095991511860, 30, 11724820193847895, 40, 23045336243080385, 44,
45309474647412326, 16, 89108633473244257, 112, 175295672406382256, 52,
344936645702881265, 64, 678922921700909220, 112, 1336629502098665138, 78,
2632131942594294503, 88, 5184502311170580169, 70, 10214243359321143089, 36, 20128067796309311417,
76, 39672713337653135622, 52, 78211920579944753135, 76, 154220688467496696398,
88, 304157468922007373539, 138, 599981856503685778077, 140, 1183747987155920589318,
78, 2335929361321016629665, 100, 4610386897344111769175, 72,
9101023485666298557404, 76, 17968687394777050998027, 20,
35482471311205315894858, 88, 70077880839630498892432, 62,
138425443633838022503631, 80, 273474656935143410312131, 90,
540359563100765292665023, 92, 1067853422318179030742875, 40,
2110580881758283260762428, 108, 4172078487196606445693279, 124,
8248247124112831134014422, 120, 16309034086314007014983181, 110, 32251573024620957692551119,
24, 63786444426472560769712237, 176, 126170988975440230093936468, 176, 249599130364457846490178840,
98, 493830537495271438217128125, 112, 977154042277877526684955763, 78,
1933736420507799737018649377, 124, 3827186665588353646182743682, 144,
7575462265906844330588523720, 52, 14996323261080895919736465375, 48,
29689690496685410103720678972, 112, 58785587183437112005366944476, ...
This is printed by :
s=1*2+2*1; n=2; for(j=1,99,print1(x=s%(n+=2),", ",
y=(s+=(n-1)*x)/n,",
");s+=y*n)
In fact, if we are to fill in position n, then we need
nx + s = (n+1)y
where s=sum( i *
a(i) ; i<n).
i.e. nx+s=0 (mod n+1)
but n=-1 (mod n+1)
thus x=s (mod n+1), the smallest nonnegative solution being "s mod (n+1)"
and then, y=(s+nx)/(n+1)
Finally,
update the sum
s += nx+(n+1)y
and position n+=2.
Maximilian
Merci Maximilian !